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定態薛定諤方程的MATLAB求解(一)
利用矩陣法對定態薛定諤方程的MATLAB求解
摘要：本文首先對薛定諤方程的提出及發展做了一個簡單介紹。然后，以在一維空間運動的粒子構成的諧振子的體系為例，詳細介紹了矩陣法求解薛定諤方程的過程及公式推導。最后，通過MATLAB編程仿真實現了求解結果。
關鍵詞：定態薛定諤方程求解 矩陣法 MATLAB仿真
薛定諤方程簡介
1.1背景資料
薛定諤方程是由奧地利物理學家薛定諤提出的量子力學中的一個基本方程，是將物質波的概念和波動方程相結合建立的二階偏微分方程，可描述微觀粒子的運動，每個微觀系統都有一個相應的薛定諤方程式，通過解方程可得到波函數的具體形式以及對應的能量，從而了解微觀系統的性質。其僅適用于速度不太大的非相對論粒子，其中也沒有包含關于粒子自旋的描述。當計及相對論效應時，薛定諤方程由相對論量子力學方程所取代，其中自然包含了粒子的自旋。
薛定諤方程建立于 1926年。它是一個非相對論的波動方程。它反映了描述微觀粒子的狀態隨時間變化的規律，它在量子力學中的地位相當于牛頓定律對于經典力學一樣，是量子力學的基本假設之一。設描述微觀粒子狀態的波函數為Ψ（r，t），質量為m的微觀粒子在勢場V（r，t）中運動的薛定諤方程為
在給定初始條件和邊界條件以及波函數所滿足的單值、有限、連續的條件下，可解出波函數Ψ（r，t）。由此可計算粒子的分布概率和任何可能實驗的平均值（期望值）。當勢函數V不依賴于時間t時，粒子具有確定的能量，粒子的狀態稱為定態。定態時的波函數可寫成式中Ψ（r）稱為定態波函數，滿足定態薛定諤方程，這一方程在數學上稱為本征方程，式中E為本征值，是定態能量，Ψ（r）又稱為屬于本征值E的本征函數。
量子力學中求解粒子問題常歸結為解薛定諤方程或定態薛定諤方程。薛定諤方程揭示了微觀物理世界物質運動的基本規律，被廣泛地用于原子物理、核物理和固體物理，對于原子、分子、核、固體等一系列問題中求解的結果都與實際符合得很好。
定態薛定諤方程直角坐標系形式
定態薛定諤方程球坐標系形式
1.2定態薛定諤方程
條件
V（r,t）=V(r)， 與t無關。
用分離變量法, 令Ψ=φ(r)f(t)，代入薛定諤方程，得兩個方程：
此稱定態薛定諤方程
整個定態波函數形式：
特點：
波函數由空間部分函數與時間部分函數相乘；
B．時間部分函數是確定的。
定態波函數幾率密度W與t無關，幾率分布不隨時間而變，因此稱為定態。
1.3本征方程、本征函數與本征值
算符： 本征方程：
λ：本征值，有多個，甚至無窮多個
ψλ：本征值為λ的本征函數，也有多個，甚至無窮多個，有時一個本征值對應多個不同的本征函數，這稱為簡并。若一個本征值對應的不同本征函數數目為N，則稱N重簡并。
1.4 定態情況下的薛定諤方程一般解
1、定態薛定諤方程或不含時的薛定諤方程是能量本征方程，E就稱為體系的能量本征值，而相應的解稱為能量的本征函數。
2、當不顯含時時，體系的能量是收恒量，可用分離變量。
3、解定態薛定諤方程，關鍵是寫出哈密頓量算符。
2. 利用矩陣法求解薛定諤方程
以在一維空間運動的粒子構成的諧振子的體系為例。
該粒子的勢能是，是諧振子的角頻率，因此諧振子的哈密頓量為
。
當時，諧振子的勢能變為無窮大，因此，粒子只能在有限的空間上運動，并且能量值譜是分立的。下面采用矩陣的方法，確定諧振子的能量分立值。
從運動方程出發 （1）
而勢能 那么
又代入上式（1）得
即 （2）
在矩陣形式下，該方程可以寫為
含時坐標矩陣元 （3）
對它求導，我們得到
代入上式后，有
（4）
其中 （5）
所以，除了當或外，所有的坐標矩陣元都等于零
當時，由（5）式有
即 同理，
因此，只有變化時，才能得到頻率即 所以不為零的坐標矩陣元為
根據定義[12-14]
對于存在的波函數，應為實數，所有的矩陣元也為實數，由厄密算符的性質得
為了計算坐標的矩陣元，由對易關系
又 代入上式易得
寫為矩陣形式，有
根據矩陣的乘法規則，有
又，則有由前面的分析知，只有時，才存在矩陣元，代入上式，
從該方程我們可以得出
矩陣元不為零，但是當時，矩陣元則
即
又
依次類推，得出
最后，我們得到坐標矩陣元不為零的表達式
又諧振子的能量可以用來表示，且，計算該能量得
其中，對于全部的1求和，只有當參數時坐標矩陣元不為零，因此得到
亦即
因此，諧振子的能級以為間隔，最低能級是
MATLAB仿真結果
線性諧振子的前六個本征函數
上圖為線性諧振子的前六個本征函數，圖中縱軸橫線表示具有相同能量的經典線性諧振子的振動范圍。
有限方勢阱前六個本征函數
上圖為有限方勢阱的前六個本征函數，圖中縱軸橫線表示具有相同能量的經典線性諧振子的振動范圍。
參考文獻：
1．周世勛，量子力學教程，北京-高等教育出版社，1979：38-42
2．曾謹言，量子力學，北京-科學出版社，1987：45-51
3. 周豐，定態薛定諤方程的計算機解法，武漢交通職業學院學報，2005，7（2），77-80
4. 封國林等，試用矩陣連分法數值求解薛定諤方程，江蘇農學院學報，1996，17（4），103-108
5. 馬文淦 編著，計算物理學，科學出版社，2005，P196-201，244-250
6．王肇慶、佘守憲、蘇惠惠，諧振子薛定諤方程的簡單解法，大學物理，1996，15（8）：19-21
附錄：
程序運行環境：MATLAB7.0
MATLAB源程序：
function f = schrodinger()
%% 對一些常數的定義
me = 9.10938188e-31;
eV = 1.60217646e-19;
h = 6.626068e-34;
hbar = 1.05457148e-34; % hbar=h/2/pi
% 定義寬度和格點數
a = 10e-9; % 長度
n = 128; % 分離數
z = linspace(-a/2,a/2,n); % 線性等分
dz = a/n; % 各點空間
%% 可能的矩陣
%為有限方勢阱====================================
%V0 = 0*eV;
%V = -V0*ones(n,1);
% 線性諧振子 ==================================
K = 1;
V0=1*eV;
V =V0+1/2*K*z'.^2;
pmatrix = spdiags(V,0,n,n); % 創建稀疏矩陣
%% 用薛定諤矩陣求波函數
vector = zeros(n,3);
vector(1:n,1) = -hbar^2/(2*me)/dz^2;
vector(1:n,2) = 2*hbar^2/(2*me)/dz^2;
vector(2:n,3) = -hbar^2/(2*me)/dz^2;
vmatrix = spdiags(vector,-1:1,n,n);
matrix = pmatrix+vmatrix;
eignum = 6; % 設置特征值個數
% 求薛定諤方程的特征值
[eigvector, eigvalue] = eigs(matrix,eignum,0); %求指定的幾個特征值
diag(eigvalue)/eV %矩陣對角元素提取、創建對角矩陣
for i = 1:eignum,
wavefunction = eigvector(:,i);
energy = eigvalue(i,i);
%將engivector常規化
wavefunction = wavefunction/sqrt(sum(abs(wavefunction.^2)*dz));
% 作圖
figure(1);
subplot(eignum/2,2,i),plot(z,wavefunction);%創建子圖、畫波函數圖
% figure(2);
% plot(z,energy);%畫能量線圖
end
程序運行結果：
>> schrodinger()
Iteration 1: a few Ritz values of the 20-by-20 matrix:
0
0
0
0
0
0
Iteration 2: a few Ritz values of the 20-by-20 matrix:
1.0e+018 *
1.3147
1.5308
1.8346
2.2932
3.0648
4.6360
Iteration 3: a few Ritz values of the 20-by-20 matrix:
1.0e+018 *
1.3147
1.5308
1.8346
2.2932
3.0648
4.6360
ans =
4.7476
4.0774
3.4021
2.7218
2.0365
1.3463
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