淺談經濟問題中的數學建模應用

淺談經濟問題中的數學建模應用

　　摘 要：微分方程是一類應用十分廣泛而且常見的數學模型。它在經濟學、管理學和物理學中有著重要的輔助研究作用。在經濟學中，通過數學建模把經濟問題所涉及的重要特征進行合理的數學轉化，即用數學語言對經濟學中復雜、抽象問題進行表述，將實際問題與數學緊密的結合起來。

　　關鍵詞：微分方程；數學建模；邏輯斯諦方程；銷售曲線

　　微分方程研究范圍廣、歷史悠久，在牛頓和萊布尼茨創造微分和積分運算時指出了它們的互逆性，事實上這是解決了最簡單的微分方程 y┡=f（x）的求解問題。當人們運用微分去解決經濟學中的問題時，發現其對經濟問題所做的定性分析和定量分析是嚴謹的、可信的，因此大量的微分方程涌現出來。現如今，微分方程在經濟學和管理學等方面得到越來越廣泛的應用。

　　一、邏輯斯諦方程

　　邏輯斯諦方程是一種非線性的微分方程，它的數學模型屬于一條連續的、單調遞增的、單參數k為上漸近線的S型曲線。眾所周知，經濟學上存在著大量的S型變化的現象，而邏輯斯諦方程是可以描述這種變化的數學模型，其特點是一開始增長較慢，中間段增長速度較快，以后的增長速度下降并趨于穩定。在經濟學中，如果問題的基本特征為在時間t很小時，呈指數型增長，而當t不斷增大，增長速度卻隨之下降，且越來越接近一個確定的值時，可以考慮運用邏輯斯諦方程加以解決。

　　利用邏輯斯諦方程的思想可以很好地分析一些經濟問題，例如新產品在市場中的發展。根據邏輯斯諦方程可以建立一個新產品的推廣模型。例如：某種新產品問世，t時刻的銷量為f（t），由于產品屬于新型產品，沒有可替代的產品，因此t時刻產品銷售量的增長率與f（x）成正比。同時，產品的銷售量存在著一定的市場容量N，統計表明，與尚未購買的此新產品的潛在客戶數量N-f（x）也呈正比，于是有=kx（N-x）符合邏輯斯諦方程的模型， 于是有通解：

　　=kx（N-x）

　　其中k為比例系數，分離變量積分, 可以解得

　　x（t）=

　　由=,=

　　當x（t*）0,即銷量x（t）單調增加. 當x（t*）=時,=0;當x（t*）>時,<0;當x（t*）<時，>0，即當銷售量大于需求量的一半時，產品最暢銷。當銷售不足一半時，銷售速度將不斷的增大。同理，銷售量達到一半時，銷售速度則不斷減少。

　　許多產品的銷售曲線都和邏輯斯諦方程曲線十分的相近。所以，分析家認為，當產品推出的初期應小批量生產；當產品用戶在20％－80％之間時，產品應該大批量的生產；但當產品的用戶超過80％時，企業應該研發新的產品。

　　二、收入與債務的問題

　　目前，歐債美債危機使大家對經濟的發展前景十分擔憂。一個國家債務過多，其所需支付的利息超過了該國的國民收入時，該國會出現破產。那么持續財政赤字的國家會出現破產這個現象嗎？國民收入與國家債務問題能否轉化為微分方程去進行分析呢？當然可以。利用微分方程可以很好地體現一個國家的國民收入與其債務問題。

　　令D（t）表示國債在時刻t的美元價值，Y（t）表示時刻t國民收入。假定所有變量都以實際美元標價，從而去掉通貨膨脹因素。同時假定赤字（定義為一個等于支出減去收入的正值）為任何時點國民收入的常數比例。由于債務變化恰好是赤字，則有

　　D=by,b>0（一般，許多國家的b值 介于0.02和0.08之間，這意味著赤字大約相當于國民收入的2%~8%）

　　同時進一步假定，國民收入隨時間的增長滿足如下微分方程：

　　Y=gY g為正常數（表示國民收入的增長率）。

　　上述兩個方程一起構成了國債積累模型。為了分析該模型所蘊含的利息支付與國民收入長期比值之間的關系，我們需要求解這兩個方程。該方程可以重新改寫成

　　兩邊積分可得

　　Y（t）=C1egt

　　我們假定利息率為常數r，計算利息支付（rD（t））和國民收入（Y（t））的比值：

　　定義z（t）=rD（t）/Y（t）為償付國債利息所吸收的國民收入份額，化簡可得

　　z（t）=re-gt+r（1-e-gt）

　　z（t）即利息支付與國民收入的比值，隨著t→∞收斂到一個有限值。為了驗明這一點，對式子右邊的兩項取t→∞時的極限。注意e-gt隨著t→∞而趨于零。則有：

　　國債的利息支付收斂到國民收入的一個固定比例rb/g。如果rb/g＜1，那么即便政府一直實行不斷增長的國民收入的固定比例的預算赤字，最終的債務負擔也會收斂到國民收入的一個固定份額。這會是一個好消息，因為這意味著經濟總是能夠滿足債務的償付，破產永遠都不會發生。另一方面，如果rb/g＞1，那么這一過程就會收斂到一個利息支付超過國民收入的有限值，此時，如果預算赤字持續下去，那么經濟將注定會破產。

　　三、總結

　　數學建模在經濟問題中的應用得到了越來越多的重視，在經濟學領域中的應用越來越廣泛。把更多的較為抽象的經濟問題公式化、模型化，將為定量研究較為復雜的經濟問題提供更為科學有效的途徑。

　　參考文獻：

　　[1] 盧達平.微積分在經濟管理中的應用 [J].龍巖學院學報 , 2006,（03）.

　　[2] 于同申.發展經濟學［M].北京：中國人民大學出版社，2002.

　　[3] 郭爽、李秀麗、高云偉.如何應用微分方程理論進行數學建模[J].大慶師范學院學報,2007,（02）

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