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基于FPGA的快速并行FFT及其在空間太陽望遠鏡圖像鎖定系統(tǒng)中的應(yīng)
摘要：在空間太陽望遠鏡的在軌高速數(shù)據(jù)處理中，運算時間是影響系統(tǒng)性能的重要環(huán)節(jié)之一。利用FPGA豐富的邏輯單元實現(xiàn)快速傅里葉變換（FFT），解決 了在軌實時大數(shù)據(jù)量圖像處理與航天級DSP運算速度不足之間的矛盾；利用溢出監(jiān)測移位結(jié)構(gòu)解決了定點運算的動態(tài)范圍問題。經(jīng)過實驗驗證，各項指標均達到了設(shè)計要求。空間太陽望遠鏡項目是我國太陽物理學家為了實現(xiàn)對太陽的高分辨率觀測而提出的科學計劃。它可以得到空間分辨率為0.1"的向量磁圖和0.5"的X射線圖像，實現(xiàn)這樣高的觀測精度的前提就是采用高精度的姿態(tài)控制系統(tǒng)和高精度的相關(guān)跟蹤系統(tǒng)。從整個系統(tǒng)來看，相關(guān)運算所需的時間成為限制系統(tǒng)性能能否提高的一個重要環(huán)節(jié)。
目前，國際國內(nèi)相關(guān)計算比較通用的實現(xiàn)方法有兩種：用高速DSP或者專用（FFT）處理芯片。用DSP完成相關(guān)計算（關(guān)鍵是FFT）受到航天級DSP性能的限制，現(xiàn)有的航天級DSP（如ADSP21020）計算一個32×32點8bit的二維FFT所用時間需要1.5ms以上，遠遠不能滿足系統(tǒng)設(shè)計要求；而現(xiàn)有的FFT處理芯片在處理速度、系統(tǒng)兼容性、抗輻射能力等方面不能滿足空間太陽望遠鏡所提出的要求。
為克服這一矛盾，本文利用FPGA資源豐富、易于實現(xiàn)并行流水的特點設(shè)計專用的FFT處理芯片來完成復(fù)雜的、大量的數(shù)據(jù)處理；并通過在運算中作溢出監(jiān)測來保證定點運算的精度，從而大大縮短系統(tǒng)的響應(yīng)時間，將極大地提高空間太陽望遠鏡的在軌實時圖像處理能力；同時由于FPGA具有抗輻射能力，可以提高系統(tǒng)的可靠性，其在航天遙測遙感和星載高速數(shù)據(jù)處理等方面將有廣泛的應(yīng)用前景。
1 算法構(gòu)成
1.1 FFT算法選擇
提高FFT速度的兩個主要途徑是采用流水結(jié)構(gòu)和并行運算[1]。采用高基數(shù)結(jié)構(gòu)也可以提高速度，只是用FPGA實現(xiàn)時必須綜合考慮系統(tǒng)要求、結(jié)構(gòu)特點及片內(nèi)資源。針對本系統(tǒng)自身特點，這里按時間抽選算法進行分析。由于32不滿足N=4m，所以32點FFT算法不能采用基-4 FFT運算。當詳細分析基-2蝶形圖時，有些蝶形運算并不需要做乘法，例如
等[2]；對于32點DIT-FFT，一共80個蝶形運算，這種結(jié)構(gòu)就有46個，極大地降低了運算復(fù)雜度。在一維FFT計算效率提高的基礎(chǔ)上對二維FFT采用最常用的行列算法[3]，綜合各項指標本系統(tǒng)采用基-2 DIT行列算法。
1.2 算術(shù)運算方案
本系統(tǒng)是針對32×32點16bit的二維圖像進行快速傅里葉變換（FFT），設(shè)計要求運算在0.5ms之內(nèi)完成，所以采用定點運算更符合系統(tǒng)對時間的要求。對于定點運算，必須用定比例的方法防止溢出，即必須解決動態(tài)范圍問題。下面對其進行理論分析：
若{x(n)}是-N點序列，其DFT為{X(K)}，由Parseval定理得[4]：
由式（1）可知變換結(jié)果的均方值是輸入序列均方值的N倍。考慮基-2算法的第m級蝶形運算，用Xm(i)、Xm(j)表示原來的復(fù)數(shù)，則新的一對復(fù)數(shù)Xm 1(i)、Xm 1(j)為：
Xm 1(i)=Xm(i) Xm(j)×W (2)
Xm 1(j)=Xm(i)-Xm(j)×W
其中，W為旋轉(zhuǎn)因子。首先，考慮復(fù)數(shù)的均方程根值。由（2）式可得：
因此，從均方根意義上看，數(shù)據(jù)（實數(shù)或復(fù)數(shù)）復(fù)級都增加（2的平方根）倍。其次，再考慮復(fù)數(shù)的最大模。由（2）式可以證明[5]。
max{|Xm(i)|,|Xm(j)|}≤max{|Xm 1(i)|,|Xm 1(j)|}≤2max{|Xm(i)|,|Xm(j)|}
因此，復(fù)數(shù)數(shù)組的最大模是非減的。所以，對于DITFFT，其每一級的蝶形運算之后數(shù)值都會增加1 (2的平方根)≈2.414倍。在每一次運算完成之后，須將結(jié)果右移2bits以滿足要求。
2 系統(tǒng)實現(xiàn)
系統(tǒng)原理如圖1所示，整個FFT運算處理單元分為三部分：存儲單元（兩個輸入/運算存儲器、一個輸出存儲器及旋轉(zhuǎn)因子存儲器）、蝶形運算單元、地址產(chǎn)生器。
2.1 存儲器
本系統(tǒng)實時接收前端CCD相機的圖像。為保證CCD相機采集圖像的準確率，圖像的每一行、每一幀之間都必須有一定的時間間隔,故采用兩個存儲單元作為輸入數(shù)據(jù)和中間數(shù)據(jù)的暫存單元（如圖1所示），以節(jié)省時間實現(xiàn)實時處理。當系統(tǒng)工作時，將圖像存入存儲器、計算上一次采集的圖像、將存儲器中的結(jié)果輸出，這三個工作同時進行，用簡單的流水方式減少存儲數(shù)據(jù)所需的時間。旋轉(zhuǎn)因子則預(yù)先存儲在器件的內(nèi)置ROM中。根據(jù)級數(shù)不同選用不同的因子。
2.2 蝶形運算單元
一個基-2蝶形運算由一個復(fù)乘和兩個復(fù)加（減）組成，采用完全并行運算，進一步分解為四個實數(shù)乘法，六個實數(shù)加（減）法，分三級并行完成，加上前后輸入輸出的數(shù)據(jù)鎖存，共需要6個時鐘周期。32點的FFT需要16×5=80個基-2的蝶形運算，一幅圖像一共是32行32列，不考慮不需要做乘法的蝶形
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