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對函數(shù)概念學習的認知過程分析
對函數(shù)概念學習的認知過程分析
3.1影響學生函數(shù)概念學習的因素
3.1.1函數(shù)概念的形成經(jīng)歷了多次擴展,抽象程度很高,學生難以理解.
在第一章的敘述中，我們可以清楚地認識到函數(shù)概念從17世紀開始，曾擴展多次，并且越來越抽象。函數(shù)這一概念的發(fā)展流程如下圖1：
圖1
現(xiàn)代認知心理學認為人們在頭腦中是以某種命題網(wǎng)絡的形式表征知識的，并且這些命題是按層次結構進行存儲。一般來說較為抽象概括的知識處于高層，而較為具體的內容處于低層。從下圖4.1中可以看出：
人們頭腦中有關動物的知識是分層次存儲的，最高層是有關動物及其共同的本質特征，次一層是有關魚與鳥的本質屬性，而最下一層是一些具體的動物種類的特征。這樣，使得人類對知識的認識過程分為兩大類：即由一般到特殊（從上到下）和由特殊到一般（從下到上）的認識過程。[21]函數(shù)概念的演變過程經(jīng)歷了“由特殊到一般”的弱抽象過程，這種弱抽象結果使函數(shù)這一概念的包性更強，更抽象，處于命題網(wǎng)絡的頂層。（如下圖所示） 所以學生學習起來必然感到困難。
3.1.2教材中函數(shù)概念的定義敘述語言嚴謹、深刻,學生難于理解概念的內涵與外延。
例如，初中數(shù)學教材中的定義，這個定義是用描述性語言給出的，此后學生學習一些簡單的具體函數(shù)：正比例函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等，并了解它們的一些簡單性質公式、圖像、單調性等。教材編寫者考慮了與初中生的認知水平相適應。盡管如此，學生學起來還是比較困難。主要原因在學習變量之前，學習大多是接觸常量。這就要求學生思維上一個臺階。由常量向變量的飛躍。首先學生難于理解變量的涵義，其次，x在某一范圍內的每一個確定的值……。都有唯一確定的值與它對應中的“毎一個”，“唯一確定”，“對應”等詞都難以理解。學生還難分清“誰是誰”的函數(shù)。函數(shù)定義本身也存在缺陷 “y既是x的函數(shù)”,同時y又是x的函數(shù)值 ,它們之間混淆了。又如高中教材中的函數(shù)定義，突出了“對應法則”是函數(shù)的核心，它嚴格區(qū)分了函數(shù)與函數(shù)值，但什么是“對應法則”定義中沒有明確是一個缺陷。如 ， 有相同的定義域和值域，它們有不同的運算，兩個對應 與g是否相同呢？此處兩個函數(shù)中的對應還可理解為同一個對應的不同表達形式，視為同一函數(shù)。[22]又如 ，既可以說是同一個函數(shù)，又可以說不是同一個函數(shù)，按其本質來說應是同一個函數(shù)。[23]從集合“笛卡爾積”出發(fā)來定義函數(shù)，得到函數(shù)的現(xiàn)代定義克服了上述缺陷，但不適合在高中引入，與學生的認知水平不符。此外高中教材中的定義是在集合與映射的基礎上定義的，映射本身也是一個抽象難懂的概念，如果學生沒有完全掌握，將會阻礙后續(xù)學習。例如在問卷2和3的調查中關于判斷是不是一個函數(shù)一題，學生中就誤認為映射的思想就是函數(shù)的本質。而沒有抓住函數(shù)的本質是變量之間的相倚性。函數(shù)是用來描述客觀世界變化的重要數(shù)學模型。比方說長方體的體積（v）是由長、寬、高三者決定的，那就說明它們之間存在著相倚性，但卻很難聯(lián)系到多個集合與一個集合之間的映射。雖然映射的思想不是函數(shù)的本質，但卻能最深刻地刻畫函數(shù)的本質。由此我們知道學生之所以出現(xiàn)調查中的情況關鍵在于沒有領會映射思想，沒有建立概念內部與概念之間的聯(lián)系，而僅僅記住其表現(xiàn)形式或語言表述。此時他所掌握的概念是孤立的，實際上并沒有正確理解概念，不能真正解決具體問題。
３．１．３學生的經(jīng)驗
學生獲得概念的能力隨著年齡的增長，經(jīng)驗的增長而發(fā)展，智力也是影響概念學習的重要因素之一。但研究表明，就智力與經(jīng)驗對概念學習的影響程度來看，經(jīng)驗的作用更大，豐富的經(jīng)驗背景是理解概念本質的前提，否則將容易導致死記硬背概念的字面定義而不能領會概念的內涵。[24]這里的“經(jīng)驗”除包括學校學習的經(jīng)驗（包括數(shù)學活動經(jīng)驗，以及其它學科學習的經(jīng)驗）以外，還有來自日常生活而且日常生活經(jīng)驗在學習中發(fā)揮著重要的作用。事實上，學生掌握的科學概念許多都是從日常概念發(fā)展而來的。如初中生在學習函數(shù)概念，必須準確掌握“變量”、“對應”和“運動”的涵義，（而這幾個概念都可從日常生活經(jīng)驗中掌握）否則便不能真正獲得“函數(shù)”這個概念。教學實踐表明，學生生活經(jīng)驗越豐富，他們的已有知識越準確牢固，已有技能越熟練，掌握新概念就越有利，同時也可以看出學生形成概念之所以遇到困難，也與學生所把過去經(jīng)驗不恰當?shù)剡w移到新情境有關。[25]
3.1.4學生的認知策略
認知策略，即學生面對新概念學習所采取對策，包括注意、記憶和思維方式的選擇與修正等，也能對獲得概念產(chǎn)生重要影響[25]。在函數(shù)概念學習之前，基本上是常量數(shù)學，所學的數(shù)學概念屬于形式邏輯的范疇。函數(shù)研究變量，變量的本質是辯證法在教學中的應用，即函數(shù)是一個辯證概念。學習時學生的思維發(fā)展水平要從具體形象思維過渡到抽象邏輯思維。在這個過程中，學生漸漸地脫離對感性經(jīng)驗的依賴，由經(jīng)驗型抽象思維逐步上升為理論型抽象思維。初中生以形式邏輯思維為主，高中生在繼續(xù)完善形式邏輯思維發(fā)展的前提下，辯證思維發(fā)展?jié)u漸占主流。高中生的辯證思維基本上還處于形成與發(fā)展的早期階段。而函數(shù)概念的學習要求學生思維能夠進行靜止與運動,離散與連續(xù)的相互轉化。這給學生形成了認知上的障礙。學生學習函數(shù)定義對函數(shù)的三要素（定義域、值域、對應法則）的掌握，和符號“ ”（對應法則）表示的意義學生最難理解。因為具有“隱蔽性”，它的具體內容很難從符號上來想象，即使所表示的對應法則是確定的，學生也缺乏足夠的為符號建立起具體內容的經(jīng)驗基礎。這樣一方面是學生的辯證思維發(fā)展還處于很不成熟的時期，思維水平基本上停留在形式邏輯思維范疇，只能局部地、靜止地、分割地、抽象地認識所學事物。另一方面函數(shù)概念是一個辯證概念，其特征是發(fā)展的、變化的處于其他概念相互聯(lián)系之中。形成函數(shù)概念必須沖破形式邏輯思維的局限，進入辯證思維領域，這個矛盾構成了函數(shù)概念學習的認知障礙。
3．1．5學生情感
學習函數(shù)概念和學習其它知識一樣，甚至需要學習者有更強烈的學習需要，由于函數(shù)概念涉及到許多子概念，如“變量、常量、對應、唯一確定”等。另外函數(shù)概念的表述是一個相當繁雜和高度抽象概括的形式，，學習起來容易使人感到茫然，這就需要學習者有積極的學習態(tài)度和堅強的學習意志。由此可見，學生對函數(shù)知識持的情感會影響他學習函數(shù)概念的效果。
此外，學生的智力水平，語言表達能力、概括能力等對函數(shù)概念的學習都有不同程度的影響，本文不作一一探討。
3.2函數(shù)學習的認知發(fā)展
數(shù)學本身是一門抽象性很強的學科,而函數(shù)概念又是這門學科中諸多概念中抽象性比較強的一個概念.正因為如此,大量的教育教學與調查表明函數(shù)概念是學生數(shù)學學習中最困難的概念之一.筆者在上一節(jié)中已經(jīng)詳細分析了影響學生函數(shù)學習的諸多因素.通過第二章第一部分函數(shù)教學案例及簡要分析得知：就中國的函數(shù)教學而言,一般用兩種方式引入函數(shù)概念教學,在初中用變量定義的方式,在高中用映射、對應的定義方式。最新版的教材直接用對應的方式定義函數(shù)。這種安排在一定的程度上遵循了函數(shù)概念的歷史發(fā)展本來的順序，也符合人們對于函數(shù)認知過程上的發(fā)展性、階段性。為了比較分析，筆者利用上一章提到的問卷２對高二、高三學生共計２００人作了抽樣調查；利用問卷３對非數(shù)學專業(yè)的大四學生和數(shù)學專業(yè)的大四學生和部分數(shù)學教師共計２００人做了調查，通過調查發(fā)現(xiàn)學生形成函數(shù)概念以及理解函數(shù)的認知水平普遍偏低，對函數(shù)概念的掌握與預期的教學目標大相徑庭。
３．２．１函數(shù)定義及其表象
函數(shù)定義方式很多，在第一章第一節(jié)中列舉了一部分，因而學生對于函數(shù)概念的學習，常會遇到多個表象。如圖像、列表格形式、解析式、箭頭實例等。對于同一函數(shù)概念的多個表象在同一水平上被使用，這些表象使學生清楚潛在概念，因而影響概念的抽象過程，在問卷２和問卷３的調查中發(fā)現(xiàn)，學生只記得函數(shù)的某些表象，而對函數(shù)定義的本質沒能很好地掌握。但同時我們也清楚地認識到在概念學習中表象比定義本身起著更重要的作用。
通過調查發(fā)現(xiàn)，學生頭腦中函數(shù)概念的發(fā)展大致經(jīng)歷作為“算式”的函數(shù)，作為“變化過程”的函數(shù)，作為“對應關系”的函數(shù)。低年級的學生頭腦中“算式”的函數(shù)表征占多數(shù)。這一類學生還沒有真正利用函數(shù)的概念定義來解決與函數(shù)有關的問題，僅僅將知識停留在所學過的方程、不等式的代數(shù)式上。比如在問卷１的第４題，要求學生判斷是否為一種函數(shù)關系。有部分學生認為它既不是一次函數(shù)，也不是二次函數(shù)，有另一部分人認為沒有學過。對于這個過程，很多學生只停留在表象的認知上——函數(shù)的解析式，不會利用數(shù)學形結合的思想解題。又如問卷２中第２題，求二次函數(shù)的最大值和最小值。學生中有一部分是這樣解題的，當 時， ；當 時， 故 ，和 ，這個問題可以看出他們僅僅將函數(shù)看成是多項式且區(qū)間知識不牢，表示混亂，這種情況同樣是他們沒有吃透“數(shù)形結合”的函數(shù)思想，以致這種混亂思想會困擾學生做其它與函數(shù)有關的問題，如求函數(shù)的值域問題。學生在初學階段解題往往把函數(shù)圖像與函數(shù)的解析式孤立對待，難以把圖像的特點與解析式所反映出來的性質結合起來。隨著學生閱歷的增加，學生的認知水平不斷上升。持“變化過程”的函數(shù)這一表象的這一類學生，對問卷２和問卷３的第１道題的回答中，有：函數(shù)是有定義域、值域和解析式的整體；函數(shù)反映的是因變量隨著自變量變化而變化的式子。此類學生比前類學生自身的認識能力即抽象能力明顯高，但還是不能對函數(shù)概念做出正確的解析，忽略了函數(shù)定義中的關鍵之處，任意一個自變量 對應唯一一個因變量 。隨著知識的加深以及練習難度的加深。學生掌握函數(shù)也在深入。例如調查問卷２中第２題中的第二類解法的學生，將函數(shù) 配方后得 且 ，故當 時， 取最小值 ，當 時， 取最大值 。以及第三類解法的學生畫出函數(shù)圖像，利用圖形求出最值 和 的解法都正確，但是比較起來兩類學生有較大的區(qū)別。后一類學生能活用函數(shù)圖像的功能，前一類學生并沒有真正將數(shù)與形結合起來。已形成了作為“對應關系”的函數(shù)的學生對新知識的領悟能力較強，能正確地描述函數(shù)的定義。由此學生對函數(shù)概念的認知發(fā)展并不是每一個學生都能完成的。個人對概念的理解與其所具有的理解力有密切聯(lián)系。人的能力因人而異并不完全相同，對函數(shù)概念的理解也不盡相同。
３．２．２學生對函數(shù)認知發(fā)展的階段性。
初中、高中、大學課程里對函數(shù)的不同定義，以及學習者自身數(shù)學背景的變化使得不同年齡段的學生對函數(shù)的理解出現(xiàn)了較大的差異。如初三學生的調查中發(fā)現(xiàn)，學生在理解函數(shù)的過程中，首先把這一概念與自己已有的知識相聯(lián)系。如二次函數(shù)的表達式的書寫形式“ ”與一般的表達式的書寫形式類似，學生容易把函數(shù)與代學式混淆，并在解題中相互替代從而導致錯誤。另外初次接觸變量，對變量的理解不透徹。如問卷１的第２題，兩個學校都有超過半數(shù)以上的學生重新解了“新方程”。大學生與高中生的比較中發(fā)現(xiàn)，大學生在學習了多值函數(shù)定義后，有些學生會與中學學習的函數(shù)概念產(chǎn)生混淆。有學者曾指出，當學生第一次面對某一個數(shù)學定義時，他們將幾乎不可避免地只遇到一個極其有限的可能范圍，這就會使他們的概念表象帶上某些特定的痕跡，這會導致后來對概念的認知發(fā)展學習中產(chǎn)生沖突。在函數(shù)學習中，學生在初中接觸的函數(shù)概念與在高中學習的函數(shù)概念以及大學遇到的多值函數(shù)概念是有明顯的差異的。這就使得他們在進一步理解函數(shù)的過程中產(chǎn)生沖突。筆者給數(shù)學專業(yè)的老師和數(shù)學專業(yè)的大四學生和非數(shù)學專業(yè)的本科生做了相同的問卷３。在這里給出他們對相同題目回答的正確率的對比表。
正確率
題目
非數(shù)學專業(yè)學生
數(shù)學專業(yè)學生
數(shù)學專業(yè)老師
９２.８％ ６０％ ９７％
８０％ ８５％ ９４％
８０％ ８５％ ９４％
小明小華小黃的對應身高 ７０％ ７５％ ９５％
從表中可以看出有些問題數(shù)學專業(yè)的學生還不如非數(shù)學專業(yè)的學生。
３．２．３對內潛于現(xiàn)實中的函數(shù)關系的感知。
幾個年級的學生都對給出解析式的函數(shù)關系較為熟悉，而對于函數(shù)關系不很明顯或以一個較為熟悉的生活現(xiàn)象出現(xiàn)時，學生對做出的答案顯得明顯不夠自信。而讓學生自己舉出一些生活中接觸到的函數(shù)時，學生覺得更困難了。舉出來的例子大都是平時教科書或習題中出現(xiàn)得比較多的與生活有聯(lián)系的問題。這說明學生對于內潛于現(xiàn)實生活中的函數(shù)現(xiàn)象不敏感。不善于將生活問題轉化為數(shù)學問題。分析其中的原因，可能之處在于以往的學校函數(shù)教學中，雖然讓學生明確了函數(shù)的形式化定義。但給學生提供的函數(shù)例子多為以解析形式給出，從已有的函數(shù)關系出發(fā)，去加以研究，學生較小經(jīng)歷或沒有經(jīng)歷過在已有實驗數(shù)據(jù)的基礎上，自己總結出來的函數(shù)關系的過程。因此這樣的函數(shù)教育都是在沒有背景下學習函數(shù)，很少把函數(shù)知識一開始就鑲嵌于生活現(xiàn)象中，這樣的教育已不適應當今數(shù)學教育改革的潮流了。正如丁爾升教授所提出的：各年齡段的學生都必須經(jīng)常探索學校數(shù)學中學到的比較原始的模式與紊亂的現(xiàn)實世界實際資料數(shù)學據(jù)間的關系，現(xiàn)實數(shù)據(jù)比編造的更可信。
３．２．４專家——新手對函數(shù)問題解答的對比分析。
隨著學習的發(fā)生和勝任能力的獲得，人的知識和各個部分將會日益相聯(lián)系起來。專家對記憶中的這些信息作了因果順序的組塊處理，由此將問題情境中的目標與子目標相互聯(lián)系起來，這樣便能在下一步的行動中提供反饋。[25]專家型的個體遇到問題時便能提取一些具有內在條理性的信息組塊，而不是一些支離破碎的信息。在不同的學科領域里，新手型個體（或初學者）的知識前后不聯(lián)貫,頭腦中只是一些孤立的定義和對核心術語及概念的膚淺理解。具體到面對有關函數(shù)這一知識問題來說，專家型個體馬上就可提取出函數(shù)是一種特殊的對應關系，特殊在任一自變量都對應而且只對應唯一的因變量。因而在判斷問卷３中的第３題和第４題時，專家型個體能迅速抓住“任一個“ ”只有在都對應唯一個“ ””的情況下，才是函數(shù)。問題就變得非常容易了。而對于新手型個體，頭腦中的知識結構模糊，有些同學只記得定義中有“ ”，因而誤認為“ ”不是函數(shù)，因為根本就沒有“ ”的出現(xiàn)，同樣對判斷是否存在函數(shù)與圖像對應時，也是瞎猜。有些人頭腦中有一些錯誤的函數(shù)定義的表征，因為函數(shù)的表示法中有圖像法，錯誤地認為凡是圖像都有相應的函數(shù)與之對應。故專家型個體的正確率明顯高于新手型個體。在平時的教學中我們應該注意促使學生頭腦中的知識具有條理性和相互聯(lián)系并成為易于提取的較大的知識組塊，便于在解題時迅速提取。
對問題的一定的表征形式總是同人是否能夠發(fā)現(xiàn)任務中的蛛絲馬跡，或執(zhí)行一系列的解題步驟相關聯(lián)。通過對比分析充分認識到專家型個體在接觸到問題或任務時則能作出推論，并能鑒別出能統(tǒng)率這些表面結構的一些原理。而新手型個體只依照問題或任務中的一些表面特征在進行運作。如在問卷３的第６題的調查結果發(fā)現(xiàn)，相當于新手型的高中生很難選全，其實問題并不難，只要抓住了切入點。新手型個體容易被問題中一些假象所迷糊，甚至有人定勢地認為題中給出的圖像就是螞蟻行走的折線圖,沒有完全弄清題意，仔細思考。
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