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小議剛性振蕩問題并行多值混合方法的指數(shù)擬合
剛性振蕩問題經(jīng)常出現(xiàn)在諸如大氣、生物、電路、流體、熱傳導(dǎo)、激光控制理論、導(dǎo)彈發(fā)射動力論、機械學(xué)、分子動力學(xué)等領(lǐng)域。 例如大多數(shù)生物體的生理節(jié)奏可以看作是周期為24小時的振蕩動力常微分方程模型，工業(yè)領(lǐng)域中基于CAD電流模型的微分代數(shù)方程轉(zhuǎn)化而成的常微分方程是典型的振蕩系統(tǒng)。 因此，對剛性振蕩問題的數(shù)值方法研究具有廣泛的應(yīng)用前景。
剛性振蕩問題具有剛性和振蕩性雙重特性，其高效數(shù)值求解有一定的挑戰(zhàn)性和困難性，并引起了相關(guān)領(lǐng)域?qū)＜业膹V泛關(guān)注。 目前，求解剛性振蕩問題的數(shù)值方法主要有兩類，一類是函數(shù)擬合方法，要求此方法求解屬于特定函數(shù)空間（指數(shù)函數(shù)，三角函數(shù)，多項式等）的問題是精確的；另一類是對現(xiàn)有的剛性問題數(shù)值方法的修改，要求它具有盡可能小的彌散誤差和耗散誤差。
對于指數(shù)擬合，Gautschi和Lyche首先給出了其理論分析基礎(chǔ)，此后，一系列適用于求解一階導(dǎo)數(shù)缺失的二階常微分方程（特別是Schr¨odinger方程）和求解一階常微分方程初值問題（特別是其解具有顯著振蕩性質(zhì)的問題）的指數(shù)擬合方法發(fā)展起來。 主要分為線性多步法的指數(shù)擬合和Runge-Kutta法的指數(shù)擬合，相比之下，對于特別適用于求解剛性振蕩問題的并行多值混合方法（PMHMs）的指數(shù)擬合研究，迄今文獻中尚未見到。
李壽佛在指出，對于剛性問題，較之BDF，Gauss Runge-Kutta 及SDIRK等方法，PMHMs具有無可比擬的優(yōu)越性。 但該方法對于剛性高振蕩問題不一定適用，為此，我們在[12, 13]的基礎(chǔ)上，構(gòu)造出PMHMs的指數(shù)擬合方法，以適用于求解剛性振蕩問題。 本文第1節(jié)介紹PMHMs方法并構(gòu)造了PMHMs的一類指數(shù)擬合方法（EFPMHMs）。 第2節(jié)分析EFPMHMs的零穩(wěn)定性和絕對穩(wěn)定性，并得到了方法的數(shù)值穩(wěn)定區(qū)域。 第3節(jié)考慮將計算公式擴展到向量方程后方法系數(shù)的計算問題。 第4節(jié)進行了數(shù)值試驗，表明本文所構(gòu)造的新方法確實是高效的，且比相應(yīng)的PMHMs對于剛性振蕩問題更有效。
1 并行多值混合方法及其指數(shù)擬合
所構(gòu)造的指數(shù)擬合方法EF-II-2，EF-II-3的經(jīng)典相容階均只為1，盡管如此，在求解剛性振蕩問題時，我們主要關(guān)注的并不是擬合后方法的經(jīng)典相容階，因為計算效果的好壞主要取決于方法的穩(wěn)定性、計算方法系數(shù)時所引起的誤差大小以及精確積分解空間屬于指數(shù)函數(shù)和多項式線性組合或乘積的這樣一類微分方程（僅存在截斷誤差）所達到的階數(shù)。 由于對于僅有的系數(shù)而言，本文的EF-II-2，EF-II-3方法均已達到精確積分階數(shù)的最大值，因此，接下來，我們考慮方法的穩(wěn)定性和方法系數(shù)的計算問題。
2 指數(shù)擬合的并行多值混合方法的穩(wěn)定性
2.1 零穩(wěn)定性 碩士畢業(yè)論文
（i）方法（10）是零穩(wěn)定的。
（ii）矩陣B的最小多項式滿足根條件。
2.2 絕對穩(wěn)定性
定義1 指數(shù)擬合的PMHMs方法（EFPMHMs）是絕對穩(wěn)定的，如果對于u（u1 = λh, u2 = υh），穩(wěn)定多項式的根|ξ|滿足|ξ| < 1.
定義2 指數(shù)擬合的PMHMs方法（EFPMHMs）的絕對穩(wěn)定的區(qū)域為？A ∈ C × C，如果對于所有u ∈ ?A，它是絕對穩(wěn)定的。
顯而易見，在平面上作出EFPMHMs方法的絕對穩(wěn)定區(qū)域是不可能的。 但是，參照Ixaru對參數(shù)對ν = ωh，θ = κh的處理方法，我們可以先確定u 中的一個參數(shù)u1 = λh（保證u的值在零穩(wěn)定域中），然后采用邊界軌跡法，作出它關(guān)于u2 = υh的絕對穩(wěn)定區(qū)域。
定義3 指數(shù)擬合的PMHMs方法（EFPMHMs）關(guān)于參數(shù)u1 = λh是A-穩(wěn)定的，如果對于確定的參數(shù)u1 = λh，其絕對穩(wěn)定域S ? C = {?h ∈ C|Re?h < 0}.
首先，令參數(shù)λh為實數(shù)，得到EF-II-2、EF-II-3關(guān)于實數(shù)的穩(wěn)定域。 從圖中可以得到結(jié)論：
（1）當(dāng)λh為小于0的負(fù)實數(shù)時，穩(wěn)定域包含整個復(fù)半平面，達到A-穩(wěn)定。
（2）隨著λh（λh ∈ ??）絕對值的增大，絕對穩(wěn)定域也隨著增大。 當(dāng)λh達到一定值，λh絕對值再增大時，絕對穩(wěn)定域變化幅度變小，穩(wěn)定域保持一定形狀。
再次，令參數(shù)λh為復(fù)數(shù)，得到EF-II-2、EF-II-3關(guān)于復(fù)數(shù)的穩(wěn)定域。 從圖形中我們不難發(fā)現(xiàn)：
（1）當(dāng)λh 的實部保持不變，虛部變?yōu)橄喾磾?shù)，即兩數(shù)共扼時，穩(wěn)定域呈現(xiàn)某種對稱性。
（2）隨著λh 實部絕對值的增大，穩(wěn)定域也隨著增大。
（3）當(dāng)λh 實部小于某一常數(shù)（EF-II-2為？1.6，EF-II-3為？1）時，穩(wěn)定域包含整個復(fù)半平面，達到A-穩(wěn)定。
3 方法系數(shù)的計算
作適當(dāng)處理，我們易將標(biāo)量的指數(shù)擬合應(yīng)用到向量方程。 于是，方法系數(shù)涉及矩陣指數(shù)eA的計算。 它的計算方法主要有Schur方法和級數(shù)方法，而數(shù)值計算一般采用級數(shù)方法，主要有Taylor級數(shù)法和Pade逼近法。
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