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導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用
【摘 要】新課程利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線，判斷或論證函數(shù)的單調(diào)性，函數(shù)的極值和最值。導(dǎo)數(shù)是分析和解決問題的有效工具。
【關(guān)鍵詞】導(dǎo)數(shù) 函數(shù)的切線 單調(diào)性 極值和最值
導(dǎo)數(shù)（導(dǎo)函數(shù)的簡稱）是一個(gè)特殊函數(shù)，它的引出和定義始終貫穿著函數(shù)思想。新課程增加了導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容，隨著課改的不斷深入，導(dǎo)數(shù)知識(shí)考查的要求逐漸加強(qiáng)，而且導(dǎo)數(shù)已經(jīng)由前幾年只是在解決問題中的輔助地位上升為分析和解決問題時(shí)的不可缺少的工具。函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)研究導(dǎo)數(shù)的一個(gè)重要載體，函數(shù)問題涉及高中數(shù)學(xué)較多的知識(shí)點(diǎn)和數(shù)學(xué)思想方法。近年好多省的高考題中都出現(xiàn)以函數(shù)為載體，通過研究其圖像性質(zhì)，來考查學(xué)生的創(chuàng)新能力和探究能力的試題。本人結(jié)合教學(xué)實(shí)踐，就導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用作個(gè)初步探究。
有關(guān)導(dǎo)數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用主要類型有：求函數(shù)的切線，判斷函數(shù)的單調(diào)性，求函數(shù)的極值和最值，利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式，這些類型成為近兩年最閃亮的熱點(diǎn)，是高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一，預(yù)計(jì)也是“新課標(biāo)”下高考的重點(diǎn)。
一、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的切線
例1.已知曲線y=x3-3x2-1，過點(diǎn)（1，-3）作其切線，求切線方程。
分析：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解。
解：y′ = 3x2-6x ， 當(dāng)x=1時(shí)y′= - 3，即所求切線的斜率為-3.故所求切線的方程為y+3 = -3(x-1)，即為：y = -3x.
1、方法提升：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的幾何意義，就是曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0， y=f(x0)）處的切線的斜率。既就是說，曲線y=f(x)在點(diǎn)P（x0， y=f(x0)）處的切線的斜率是f′(x0) ，相應(yīng)的切線方程為y-y0= f′(x0)(x-x0)。
二、用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性
例2．求函數(shù)y=x3-3x2-1的單調(diào)區(qū)間。
分析：求出導(dǎo)數(shù)y′，令y′>0或y′<0，解出x的取值范圍即可。
解：y′= 3x2-6x，由y′>0得3x2-6x﹥0，解得x﹤0或x﹥2。
由y′<0 得3x2-6x﹤0，解得0﹤x＜2。
故 所求單調(diào)增區(qū)間為(-∞，0)∪(2，+∞)，單調(diào)減區(qū)間為 (0 ，2 )。
2、方法提升：利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性的步驟是：（1）確定f(x)的定義域；（2）求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（3）在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解不等式f′(x)>0和f′(x)<0；（4）確定f(x)的單調(diào)區(qū)間.若在函數(shù)式中含字母系數(shù)，往往要分類討論。
三、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值
例3．求函數(shù)f(x)=(1/3)x3-4x+4的極值
解：由 f′(x)=x2-4=0，解得x=2或x=－2.
當(dāng)x變化時(shí)，y′、y的變化情況如下：
當(dāng)x=－2時(shí)，y有極大值f(-2)=－（28/3），當(dāng)x=2時(shí)，y有極小值f(2)=－(4/3).
3、方法提升：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟是：（1）確定函數(shù)定義域，求導(dǎo)數(shù)f′(x)；（2）求f′(x)= 0的所有實(shí)數(shù)根；（3）對(duì)每個(gè)實(shí)數(shù)根進(jìn)行檢驗(yàn)，判斷在每個(gè)根（如x0）的左右側(cè)，導(dǎo)函數(shù)f′(x)的符號(hào)如何變化，如果f′(x)的符號(hào)由正變負(fù)，則f(x0)是極大值；如果f′(x)的符號(hào)由負(fù)變正，則f(x0)是極小值.。注意：如果f′(x)= 0的根x = x0的左右側(cè)符號(hào)不變，則f(x0)不是極值。
四、用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值
五、證明不等式
5、方法提升：利用導(dǎo)數(shù)證明不等式是近年高考中出現(xiàn)的一種熱點(diǎn)題型。其方法可以歸納為“構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)最值”。
總之，導(dǎo)數(shù)作為一種工具，在解決數(shù)學(xué)問題時(shí)使用非常方便，尤其是可以利用導(dǎo)數(shù)來解決函數(shù)的單調(diào)性，極值，最值以及切線問題。在導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用過程中，要加強(qiáng)對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解，重視數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用，達(dá)到優(yōu)化解題思維，簡化解題過程的目的，更在于使學(xué)生掌握一種科學(xué)的語言和工具，進(jìn)一步加深對(duì)函數(shù)的深刻理解和直觀認(rèn)識(shí)。
參考資料：
1、普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書（北京師范大學(xué)出版社）
2、高中數(shù)學(xué)教學(xué)參考
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