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六年級(jí)奧數(shù)知識(shí)試題「分解質(zhì)因數(shù)」
一個(gè)整數(shù)，它的約數(shù)只有1和它本身，就稱為質(zhì)數(shù)(也叫素?cái)?shù)).例如，2，5，7，101，….一個(gè)整數(shù)除1和它本身外，還有其他約數(shù)，就稱為合數(shù).例如，4，12，99，501，….1不是質(zhì)數(shù)，也不是合數(shù).也可以換一種說法，恰好只有兩個(gè)約數(shù)的整數(shù)是質(zhì)數(shù)，至少有3個(gè)約數(shù)的整數(shù)是合數(shù)，1只有一個(gè)約數(shù)，也就是它本身.
質(zhì)數(shù)中只有一個(gè)偶數(shù)，就是2，其他質(zhì)數(shù)都是奇數(shù).但是奇數(shù)不一定是質(zhì)數(shù)，例如，15，33，….
例1 ○+(□+△)=209.
在○、□、△中各填一個(gè)質(zhì)數(shù)，使上面算式成立.
解：209可以寫成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積，即
209=11×19.
不論○中填11或19，□+△一定是奇數(shù)，那么□與△是一個(gè)奇數(shù)一個(gè)偶數(shù)，偶質(zhì)數(shù)只有2，不妨假定△內(nèi)填2.當(dāng)○填19，□要填9，9不是質(zhì)數(shù)，因此○填11，而□填17.
這個(gè)算式是 11×(17+2)=209，
11×(2+17)= 209.
解例9的首要一步是把209分解成兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積.把一個(gè)整數(shù)分解成若干個(gè)整數(shù)的乘積，特別是一些質(zhì)數(shù)的乘積，是解決整數(shù)問題的一種常用方法，這也是這一節(jié)所講述的主要內(nèi)容.
一個(gè)整數(shù)的因數(shù)中，為質(zhì)數(shù)的因數(shù)叫做這個(gè)整數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如，2，3，7，都是42的質(zhì)因數(shù)，6，14也是42的因數(shù)，但不是質(zhì)因數(shù).
任何一個(gè)合數(shù)，如果不考慮因數(shù)的順序，都可以唯一地表示成質(zhì)因數(shù)乘積的形式，例如
360=2×2×2×3×3×5.
還可以寫成360=23×32×5.
這里23表示3個(gè)2相乘，32表示2個(gè)3相乘.在23中，3稱為2的指數(shù)，讀作2的3次方，在32中，2稱為3的指數(shù)，讀作3的2次方.
例2 有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好是一個(gè)比一個(gè)大1歲，而他們的年齡的乘積是5040，那么，他們的年齡各是多少?
解：我們先把5040分解質(zhì)因數(shù)
5040=24×32×5×7.
再把這些質(zhì)因數(shù)湊成四個(gè)連續(xù)自然數(shù)的乘積：
24×32×5×7=7×8×9×10.
所以，這四名學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲和10歲.
利用合數(shù)的質(zhì)因數(shù)分解式，不難求出該數(shù)的約數(shù)個(gè)數(shù)(包括1和它本身).為尋求一般方法，先看一個(gè)簡(jiǎn)單的例子.
我們知道24的約數(shù)有8個(gè)：1，2，3，4，6，8，12，24.對(duì)于較大的數(shù)，如果一個(gè)一個(gè)地去找它的約數(shù)，將是很麻煩的事.
因?yàn)?4=23×3，所以24的約數(shù)是23的約數(shù)(1，2，22，23)與3的約數(shù)(1，3)之間的兩兩乘積.
1×1，1×3，2×1，2×3，22×1，22×3，23×1，23×3.
這里有4×2=8個(gè)，即 (3+1)×(1+1)個(gè)，即對(duì)于24=23×3中的23，有(3+1)種選擇：1，2，22，23，對(duì)于3有(1+1)種選擇.因此共有(3+1)×(1+1)種選擇.
這個(gè)方法，可以運(yùn)用到一般情形，例如，
144=24×32.
因此144的約數(shù)個(gè)數(shù)是(4+1)×(2+1)=15(個(gè)).
例3 在100至150之間，找出約數(shù)個(gè)數(shù)是8的所有整數(shù).
解：有8=7+1; 8=(3+1)×(1+1)兩種情況.
(1)27=128，符合要求，
37>150，所以不再有其他7次方的數(shù)符合要求.
(2)23=8，
8×13=104， 8×17=136，符合要求.
33=27;
只有27×5=135符合要求.
53=135，它乘以任何質(zhì)數(shù)都大于150，因此共有4個(gè)數(shù)合要求：128，104，135，136.
利用質(zhì)因數(shù)的分解可以求出若干個(gè)整數(shù)的最大公約數(shù)和最小公倍數(shù).先把它們各自進(jìn)行質(zhì)因數(shù)分解，例如
720=24×32×5，168=23×3×7.
那么每個(gè)公共質(zhì)因數(shù)的最低指數(shù)次方的乘積就是最大公約數(shù)，上面兩個(gè)整數(shù)都含有質(zhì)因數(shù)2，較低指數(shù)次方是23，類似地都含有3，因此720與168的最大公約數(shù)是
23×3= 24.
在求最小公倍數(shù)時(shí)，很明顯每個(gè)質(zhì)因數(shù)的最高指數(shù)次方的乘積是最小公倍數(shù).請(qǐng)注意720中有5，而168中無5，可以認(rèn)為較高指數(shù)次方是51=5.720與168的最小公倍數(shù)是
24×32×5×7=5040.
例4 兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是180，最大公約數(shù)是30，已知其中一個(gè)數(shù)是90，另一個(gè)數(shù)是多少?
解：180=22×32×5，
30=2×3×5.
對(duì)同一質(zhì)因數(shù)來說，最小公倍數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較高的，而最大公約數(shù)是在兩數(shù)中取次數(shù)較低的，從22與2就知道，一數(shù)中含22，另一數(shù)中含2;從32與3就知道，一數(shù)中含32，另一數(shù)中含3，從一數(shù)是
90=2×32×5.
就知道另一數(shù)是
22×3×5=60.
還有一種解法：
另一數(shù)一定是最大公約數(shù)30的整數(shù)倍，也就是在下面這些數(shù)中去找
30， 60， 90， 120，….
這就需要逐一檢驗(yàn)，與90的最小公倍數(shù)是否是180，最大公約數(shù)是否是30.現(xiàn)在碰巧第二個(gè)數(shù)60就是.逐一去檢驗(yàn)，有時(shí)會(huì)較費(fèi)力.
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