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小學(xué)奧數(shù)輔導(dǎo)：雞兔同籠問題與假設(shè)法
雞兔同籠問題是按照題目的內(nèi)容涉及到雞與兔而命名的，它是一類有名的中國古算題。許多小學(xué)算術(shù)應(yīng)用題，都可以轉(zhuǎn)化為雞兔同籠問題來加以計(jì)算。
例1 小紅家的雞與兔關(guān)在同一個(gè)籠子里，數(shù)頭有16個(gè)，數(shù)腳有44只。問：小紅家的雞與兔各有多少只?
分析：假設(shè)16只都是雞，那么就應(yīng)該有2×16=32(只)腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況多了44-32=12(只)腳，出現(xiàn)這種情況的原因是把兔當(dāng)作雞了。如果我們以同樣數(shù)量的兔去換同樣數(shù)量的雞，那么每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)增加了2只。因此只要算出12里面有幾個(gè)2，就可以求出兔的只數(shù)。
解：有兔(44-2×16)÷(4-2)=6(只)，
有雞16-6=10(只)。
答：有6只兔，10只雞。
當(dāng)然，我們也可以假設(shè)16只都是兔子，那么就應(yīng)該有4×16=64(只)腳，但實(shí)際上有44只腳，比假設(shè)的情況少了64-44=20(只)腳，這是因?yàn)榘央u當(dāng)作兔了。我們以雞去換兔，每換一只，頭的數(shù)目不變，腳數(shù)減少了4-2=2(只)。因此只要算出20里面有幾個(gè)2，就可以求出雞的只數(shù)。
有雞(4×16-44)÷(4-2)=10(只)，
有兔16——10=6(只)。
由例1看出，解答雞兔同籠問題通常采用假設(shè)法，可以先假設(shè)都是雞，然后以兔換雞;也可以先假設(shè)都是兔，然后以雞換兔。因此這類問題也叫置換問題。
例2 今有100個(gè)和尚140個(gè)饃，大和尚1人分3個(gè)饃，小和尚1人分1個(gè)饃。問：大、小和尚各有多少個(gè)?
分析與解：本題由中國古算名題“百僧分饃問題”演變而得。如果將大和尚、小和尚分別看作雞和兔，饃看作腿，那么就成了雞兔同籠問題，可以用假設(shè)法來解。
假設(shè)100人全是大和尚，那么共需饃300個(gè)，比實(shí)際多300-140=160(個(gè))。現(xiàn)在以小和尚去換大和尚，每換一個(gè)總?cè)藬?shù)不變，而饃就要減少3——1=2(個(gè))，因?yàn)?60÷2=80，故小和尚有80人，大和尚有
100-80=20(人)。
同樣，也可以假設(shè)100人都是小和尚，同學(xué)們不妨自己試試。
在下面的例題中，我們只給出一種假設(shè)方法。
例3 得力文化用品商行出售“得力”牌文化用品每套19元，“藍(lán)天”牌文化用品每套11元，這兩種文化用品共買了16套，用錢280元。問：兩種文化用品各買了多少套?
分析與解：我們設(shè)想有一只“怪雞”有1個(gè)頭11只腳，一種“怪兔”有1個(gè)頭19只腳，它們共有16個(gè)頭，280只腳。這樣，就將買文化用品問題轉(zhuǎn)換成雞兔同籠問題了。
假設(shè)買了16套“得力”文化用品，則共需19×16=304(元)，比實(shí)際多304——280=24(元)，現(xiàn)在用“藍(lán)天”文化用品去換“得力”文化用品，每換一套少用19——11=8(元)，所以
買“藍(lán)天”文化用品 24÷8=3(套)，
買“得力”文化用品 16-3=13(套)。
例4 雞、兔共100只，雞腳比兔腳多20只。問：雞、兔各多少只?
分析：假設(shè)100只都是雞，沒有兔，那么就有雞腳200只，而兔的腳數(shù)為零。這樣雞腳比兔腳多200只，而實(shí)際上只多20只，這說明假設(shè)的雞腳比兔腳多的數(shù)比實(shí)際上多200——20=180(只)。
現(xiàn)在以兔換雞，每換一只，雞腳減少2只，兔腳增加4只，即雞腳比兔腳多的腳數(shù)中就會減少4+2=6(只)，而180÷6=30，因此有兔子30只，雞100——30=70(只)。
解：有兔(2×100——20)÷(2+4)=30(只)，
有雞100——30=70(只)。
答：有雞70只，兔30只。
一、例題精講：
例1 現(xiàn)有大、小油瓶共50個(gè)，每個(gè)大瓶可裝油4千克，每個(gè)小瓶可裝油2千克，大瓶比小瓶共多裝20千克。問：大、小瓶各有多少個(gè)?
解：小瓶有(4×50-20)÷(4+2)=30(個(gè))，
大瓶有50-30=20(個(gè))。
答：有大瓶20個(gè)，小瓶30個(gè)。
例2 一批鋼材，用小卡車裝載要45輛，用大卡車裝載只要36輛。已知每輛大卡車比每輛小卡車多裝4噸，那么這批鋼材有多少噸?
分析：要算出這批鋼材有多少噸，需要知道每輛大卡車或小卡車能裝多少噸。
利用假設(shè)法，假設(shè)只用36輛小卡車來裝載這批鋼材，因?yàn)槊枯v大卡車比每輛小卡車多裝4噸，所以要剩下4×36=144(噸)。根據(jù)條件，要裝完這144噸鋼材還需要45-36=9(輛)小卡車。這樣每輛小卡車能裝144÷9=16(噸)。由此可求出這批鋼材有多少噸。
解：4×36÷(45-36)×45=720(噸)。
答：這批鋼材有720噸。
例3 樂樂百貨商店委托搬運(yùn)站運(yùn)送500只花瓶，雙方商定每只運(yùn)費(fèi)0.24元，但如果發(fā)生損壞，那么每打破一只不僅不給運(yùn)費(fèi)，而且還要賠償1.26元，結(jié)果搬運(yùn)站共得運(yùn)費(fèi)115.5元。問：搬運(yùn)過程中共打破了幾只花瓶?
分析：假設(shè)500只花瓶在搬運(yùn)過程中一只也沒有打破，那么應(yīng)得運(yùn)費(fèi)0.24×500=120(元)。實(shí)際上只得到115.5元，少得120-115.5=4.5(元)。搬運(yùn)站每打破一只花瓶要損失0.24+1.26=1.5(元)。因此共打破花瓶4.5÷1.5=3(只)。
解：(0.24×500-115.5)÷(0.24+1.26)=3(只)。
答：共打破3只花瓶。
例4 小樂與小喜一起跳繩，小喜先跳了2分鐘，然后兩人各跳了3分鐘，一共跳了780下。已知小喜比小樂每分鐘多跳12下，那么小喜比小樂共多跳了多少下?
分析與解：利用假設(shè)法，假設(shè)小喜的跳繩速度減少到與小樂一樣，那么兩人跳的總數(shù)減少了
12×(2+3)=60(下)。
可求出小樂每分鐘跳
(780—60)÷(2+3+3)=90(下)，
小樂一共跳了90×3=270(下)，因此小喜比小樂共多跳
780—270×2=240(下)。
二、考練：
1.雞、兔共有頭100個(gè)，腳350只，雞、兔各有多少只?
2.學(xué)校有象棋、跳棋共26副，2人下一副象棋，6人下一副跳棋，恰好可供120個(gè)學(xué)生進(jìn)行活動。問：象棋與跳棋各有多少副?
3.班級購買活頁簿與日記本合計(jì)32本，花錢74元。活頁簿每本1.9元，日記本每本3.1元。問：買活頁簿、日記本各幾本?
4.龜、鶴共有100個(gè)頭，鶴腿比龜腿多20只。問：龜、鶴各幾只?
5.小蕾花40元錢買了14張賀年卡與明信片。賀年卡每張3元5角，明信片每張2元5角。問：賀年卡、明信片各買了幾張?
6.一個(gè)工人植樹，晴天每天植樹20棵，雨天每天植樹12棵，他接連幾天共植樹112棵，平均每天植樹14棵。問：這幾天中共有幾個(gè)雨天?
7.振興小學(xué)六年級舉行數(shù)學(xué)競賽，共有20道試題。做對一題得5分，沒做或做錯(cuò)一題都要扣3分。小建得了60分，那么他做對了幾道題?
8.有一批水果，用大筐80只可裝運(yùn)完，用小筐120只也可裝運(yùn)完。已知每只大筐比每只小筐多裝運(yùn)20千克，那么這批水果有多少千克?
9.蜘蛛有8條腿，蜻蜓有6條腿和2對翅膀，蟬有6條腿和1對翅膀。現(xiàn)有三種小蟲共18只，有118條腿和20對翅膀。問：每種小蟲各有幾只?
10.雞、兔共有腳100只，若將雞換成兔，兔換成雞，則共有腳92只。問：雞、兔各幾只?
三、考練參考答案：
1.兔75只，雞25只。
2.象棋9副，跳棋17副。
3.活頁簿21本，日記本11本。
4.30只龜，70只鶴。
5.賀年卡5張，明信片9張。
6.6天。 7.15道。
8.4800千克。
解：[(80×20)÷(120-80)]×120=4800(千克)。
9.5只蜘蛛，7只蜻蜓，6只蟬。
提示：把小蟲分成8條腿與6條腿兩種，先求出蜘蛛的數(shù)。
10.兔18只，雞14只。
解：由于雞換成兔，兔換成雞，腳的只數(shù)少了8只，故原來的兔比雞多4只。減去這4只兔，則雞、兔一樣多，并且共有腳100-4×4=84(只)，所以，
雞有84÷(4+2)=14(只)，
兔有14+4=18(只)。
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