-初三數學期中考試題

2016-2017初三數學期中考試題

　　成功的法則極為簡單，但簡單并不代表容易。下面是小編整理的2016-2017初三數學期中考試題，歡迎大家參考。

　　一、選擇題(共10小題，每題3分，計30分.每題只有一個選項是符合題意的)

　　1.點A(﹣2，m)與點B(n，4)關于原點對稱，則m+n的值是( )

　　A.2 B.6 C.﹣2 D.﹣6

　　2.若y=(m﹣2) 是關于x的二次函數，則常數m的值為( )

　　A.﹣1 B.2 C.﹣2 D.﹣1或﹣2

　　3.下列圖形中，不是中心對稱圖形的是( )

　　A. B. C. D.

　　4.若y﹣4與x2成正比例，當x=2時，y=6，則y與x的函數關系式是( )

　　A.y=x2+4 B.y=﹣x2+4 C.y=﹣ x2+4 D.y= x2+4

　　5.如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，E是AD延長線上一點，若∠CBA=120°，則∠EDC的大小是( )

　　A.60° B.120° C.150° D.130°

　　6.一元二次方程2x2+5x+3=0的實數根的情況是( )

　　A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根

　　C.有一個實數根 D.沒有實數根

　　7.如圖，在以BD為直徑的⊙O上， = ，若∠AOB=70°，則∠BDC的度數是( )

　　A.70° B.30° C.35° D.40°

　　8.在學校運動會上，初三(5)班的運動員擲鉛球，鉛球的高y(m)與水平距離x(m)之間函數關系式為y=﹣0.2x2+1.6x+1.8，則此運動員的成績是( )

　　A.10m B.4m C.5m D.9m

　　9.某漫畫興趣小組的學生將自己畫的漫畫向本組其他成員各贈送一幅，全組共互贈了380幅，如果全組有x名同學，那么根據題意列出的方程是( )

　　A.x(x+1)=380 B.x(x﹣1)=380×2 C.x(x﹣1)=380 D.2x(x+1)=380

　　10.如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸為直線x=1，圖象經過(3，0)，下列結論：①abc>0，②a﹣b+c=0，③2a+b<0，④b2﹣4ac<0，其中正確的是( )

　　A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.①②

　　二、填空題(共6小題，每小題3分，計18分)

　　11.關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m=0的一個根為1，則方程的另一根為__________.

　　12.如圖，設P是等邊三角形ABC內任意一點，△ACP′是由△ABP旋轉得到的，則PA__________PB+PC(選填“>”、“=”、“<”)

　　13.已知x1，x2是方程x2﹣5x=0的兩個實數根，則x1+x2的值是__________.

　　14.拋物線y=﹣ x2可以看作是拋物線y=﹣ (x﹣4)2向__________得到的.

　　15.如圖，△ABC內接于⊙O，OD⊥BC于點D，∠A=55°，則∠OCD的度數是__________.

　　16.某種商品每件進價為30元，調查表明：在某段時間內若以每件x元(30≤x≤40，且x為整數)出售，可賣出(40﹣x)件，若使利潤最大，每件的售價應為__________元.

　　三、解答題(共9小題，計72分，解答應寫出過程)

　　17.解方程：x(x﹣3)=6+3x.

　　18.如圖，△ABC繞點C旋轉后，頂點A旋轉到了點A′，畫出旋轉后的三角形并指出一個旋轉角.

　　19.拋物線y=2x2﹣m與x軸并于A、B兩點，與y軸交于點C，若∠ACB=90°，求拋物線的解析式.

　　20.隨著經濟的發展，鐵路客運量不斷增長，為了滿足乘客需求，火車站開始啟 動了擴建工程，其中某項工程，乙隊單獨完成所需時間比甲隊單獨完成所需時間少4個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的4.8倍，求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需幾個月?

　　21.⊙O的直徑AB和弦CD相交于點P，已知AP=9cm，PB=3cm，∠CPA=30°，求弦CD的長.

　　22.如圖，M、N分別是x、y軸上一點，M從坐標(8，0)開始以每秒2個單位的速度沿x軸向O點移動，N從坐標(0，0)開始以每秒3個單位的速度沿y軸向上移動，若M、N兩點同時出發，經過幾秒，使得△MNO的面積為9個平方單位?

　　23.如圖，A、B、C、D是半徑為10的⊙O上的四點，其中∠CAD=∠ABD°=60°.

　　(1)求證：△ACD是等邊三角形;

　　(2)求圓心O到CD的距離OE.

　　24.李爺爺借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長)，用32m長的籬笆圍成一個矩形花園，想在里面種些花草，籬笆只圍AB、BC兩邊.

　　(1)若花園的面積為252m2，求AB的長度;

　　(2)若在P處有一棵樹，與墻CD、AD的距離分別是17m和8m，要將這棵樹圍在花園內(含邊界，不考慮樹的粗細)，求花園面積S的最大值.

　　25.如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+4與x軸交于A(2，0)、B兩點，與y軸交于點C.

　　(1)求b的值;

　　(2)求拋物線的對稱軸及頂點坐標;

　　(3)以點B為直角頂點，BC為直角邊作Rt△BCD，CD交拋物線于第二象限的點P，若PC=PD，求P點的坐標.

　　期中數學試卷答案

　　一、選擇題(共10小題，每題3分，計30分.每題只有一個選項是符合題意的)

　　1.點A(﹣2，m)與點B(n，4)關于原點對稱，則m+n的值是( )

　　A.2 B.6 C.﹣2 D.﹣6

　　【考點】關于原點對稱的點的坐標.

　　【分析】直接利用關于原點對稱點的坐標性質得出m，n的值進而求出即可.

　　【解答】解：∵點A(﹣2，m)與點B(n，4)關于原 點對稱，

　　∴n=2，m=﹣4，

　　故m+n=2﹣4=﹣2.

　　故選：C.

　　【點評】此題主要考查了關于原點對稱點的坐標性質，正確記憶關于原點對稱點的坐標性質是解題關鍵.

　　2.若y=(m﹣2) 是關于x的二次函數，則常數m的值為( )

　　A.﹣1 B.2 C.﹣2 D.﹣1或﹣2

　　【考點】二次函數的定義.

　　【分析】根據二次函數的定義列出不等式求解即可.

　　【解答】解：由y=(m﹣2) 是關于x的二次函數，得

　　，解得m=2(不符合題意要舍去)，m=﹣1，

　　故選：A.

　　【點評】本題考查了二次函數的定義，二次函數的二次項的系數不等于零是解題關鍵.

　　3.下列圖形中，不是中心對稱圖形的是( )

　　A. B. C. D.

　　【考點】中心對稱圖形.

　　【分析】根據中心對稱的定義，結合選項進行判斷即可.

　　【解答】解：A、是中心對稱圖形.故選項錯誤;

　　B、不是中心對稱圖形.故選項正確;

　　C、是中心對稱圖形.故選項錯誤;

　　D、是中心對稱圖形.故選項錯誤.

　　故選：B.

　　【點評】本題考查了中心對稱圖形的概念，中心對稱圖形是要尋找對稱中心，旋轉180度后與原圖重合.

　　4.若y﹣4與x2成正比例，當x=2時，y=6，則y與x的函數關系式是( )

　　A.y=x2+4 B.y=﹣x2+4 C.y=﹣ x2+4 D.y= x2+4

　　【考點】待定系數法求二次函數解析式.

　　【專題】計算題.

　　【分析】根據正比例函數的定義可設y﹣4=kx2，然后把x=2，y=6代入可計算出k的值，則可得到y與x的函數關系式.

　　【解答】解：根據題意得y﹣4=kx2，

　　當x=2，y=6，則4k=6﹣4，解得k= ，

　　所以y﹣4= x2，

　　即y與x的函數關系式為y= x2+4.

　　故選D.

　　【點評】本題考查了待定系數法求二次函數的解析式：在利用待定系數法求二次函數關系式時，要根據題目給定的條件，選擇恰當的方法設出關系式，從而代入數值求解.一般地，當已知拋物線上三點時，常選擇一般式，用待定系數法列三元一次方程組來求解;當已知拋物線的頂點或對稱軸時，常設其解析式為頂點式來求解;當已知拋物線與x軸有兩個交點時，可選擇設其解析式為交點式來求解.也考查了正比例函數的定義.

　　5.如圖，四邊形ABCD是圓內接四邊形，E是AD延長線上一點，若∠CBA=120°，則∠EDC的大小是( )

　　A.60° B.120° C.150° D.130°

　　【考點】圓內接四邊形的性質.

　　【分析】先根據圓內接四邊形的性質得出∠ADC的度數，進而可得出結論.

　　【解答】解：∵四邊形ABCD是圓內接四邊形，∠CBA=120°，

　　∴∠ADC=180°﹣120°=60°.

　　∵∠ADC+∠EDC=180°，

　　∴∠EDC=180°﹣60°=120°.

　　故選B.

　　【點評】本題考查的是圓內接四邊形的性質，熟知圓內接四邊形的對角互補是解答此題的關鍵.

　　6.一元二次方程2x2+5x+3=0的實數根的情況是( )

　　A.有兩個不相等的實數根 B.有兩個相等的實數根

　　C.有一個實數根 D.沒有實數根

　　【考點】根的判別式.

　　【分析】把a=2，b=5，c=3代入判別式△=b2﹣4ac進行計算，然后根據計算結果判斷方程根的情況.

　　【解答】解：∵a=2，b=5，c=3，

　　∴△=b2﹣4ac=52﹣4×2×3=1>0，

　　∴方程有兩個不相等的實數根.

　　故選：A.

　　【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0，a，b，c為常數)根的判別式△=b2﹣4ac.當△>0，方程有兩個不相等的實數根;當△=0，方程有兩個相等的實數根;當△<0，方程沒有實數根.

　　7.如圖，在以BD為直徑的⊙O上， = ，若∠AOB=70°，則∠BDC的度數是( )

　　A.70° B.30° C.35° D.40°

　　【考點】圓周角定理;圓心角、弧、弦的關系.

　　【分析】利用在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠BDC的度數.

　　【解答】解：∵ = ，∠AOB=70°，

　　∴∠BDC= ∠AOB=35°.

　　故選C.

　　【點評】此題考查了圓周角定理.此題比較簡單，注意數形結合思想的應用，注意在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用.

　　8.在學校運動會上，初三(5)班的運動員擲鉛球，鉛球的高y(m)與水平距離x(m)之間函數關系式為y=﹣0.2x2+1.6x+1.8，則此運動員的成績是( )

　　A.10m B.4m C.5m D.9m

　　【考點】二次函數的應用.

　　【分析】鉛球落地才能計算成績，此時y=0，即y=﹣0.2x2+1.6x+1.8=0，解方程即可.在實際問題中，注意負值舍去.

　　【解答】解：由題意可知，把y=0代入解析式得：

　　y=﹣0.2x2+1.6x+1.8=0，

　　解得x1=9，x2=﹣1(舍去)，

　　即該運動員的成績是9米.

　　故選D.

　　【點評】本題考查二次函數的實際應用，搞清楚鉛球落地時，即y=0，測量運動員成績，也就是求x的值，此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題.

　　9.某漫畫興趣小組的學生將自己畫的漫畫向本組其他成員各贈送一幅，全組共互贈了380幅，如果全組有x名同學，那么根據題意列出的方程是( )

　　A.x(x+1)=380 B.x(x﹣1)=380×2 C.x(x﹣1)=380 D.2x(x+1)=380

　　【考點】由實際問題抽象出一元二次方程.

　　【分析】如果全組有x名同學，根據小組的學生將自己畫的漫畫向本組其他成員各贈送一幅，全組共互贈了380幅，列出方程即可.

　　【解答】解：設全組有x名同學，每名同學要送出漫畫(x﹣1)幅;

　　總共送的張數應該是x(x﹣1)=380.

　　故選：C.

　　【點評】本題考查了一元二次方程的應用，關鍵是理解題意后，類比數線段來做，互贈張數就像總線段條數，人數類似線段端點數.

　　10.如圖，二次函數y=ax2+bx+c的圖象開口向上，對稱軸為直線x=1，圖象經過(3，0)，下列結論：①abc>0，②a﹣b+c=0，③2a+b<0，④b2﹣4ac<0，其中正確的是( )

　　A.①②③④ B.①③④ C.①③ D.①②

　　【考點】二次函數圖象與系數的關系.

　　【分析】根據二次函數圖象開口向上，判斷a大于0，與y軸交于負半軸，判斷c小于0，對稱軸為直線x=1，判斷b<0，據此對①作出判斷;根據對稱軸為直線x=1，即可對③作出判斷;根據二次函數對稱軸為直線x=1，圖象經過(3，0)，進而得到二次函數圖象與x軸另一個交點為(﹣1，0)，坐標代入解析式，即可對②作出判斷;根據二次函數圖象與x軸有兩個交點，即可對④作出判斷.

　　【解答】解：∵二次函數圖象開口向上，

　　∴a>0，

　　∵二次函數圖象與y軸交于負半軸，

　　∴c<0，

　　∵二次函數圖象的對稱軸是直線x=1，

　　∴ ，

　　∴b<0，2a+b=0，

　　∴abc>0，

　　∴①正確，③錯誤，

　　∵二次函數圖象經過(3，0)，對稱軸為x=1，

　　∴二次函數圖象與x軸另一個交點為(﹣1，0)，

　　∴a﹣b+c=0，②正確;

　　∵二次函數與x軸有兩個交點，

　　∴b2﹣4ac>0，④錯誤，

　　綜上①②正確，

　　故選D.

　　【點評】本題考查了二次函數圖象與系數的關系的知識：二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當 a>0時，拋物線向上開口;當a<0時，拋物線向下開口;一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時(即ab>0)，對稱軸在y軸左側; 當a與b異號時(即ab<0)，對稱軸在y軸右側;常數項c決定拋物線與y軸交點. 拋物線與y軸交于(0，c);拋物線與x軸交點個數由△決定，△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.

　　二、填空題(共6小題，每小題3分，計18分)

　　11.關于x的一元二次方程x2﹣mx+2m=0的一個根為1，則方程的另一根為﹣2.

　　【考點】根與系數的關系.

　　【分析】將該方程的已知根1代入兩根之積公式和兩根之和公式列出方程組，解方程組即可求出另一根的值.

　　【解答】解：設方程的另一根為x1，又∵x=1，

　　則 ，解方程組可得 .

　　故答案為：﹣2.

　　【點評】本題考查了一元二次方程根與系數的關系，列方程組時要注意各系數的正負，避免出錯.

　　12.如圖，設P是等邊三角形ABC內任意一點， △ACP′是由△ABP旋轉得到的，則PA”、“=”、“<”)

　　【考點】旋轉的性質;三角形三邊關系;等邊三角形的判定.

　　【分析】此題只需根據三角形的任意兩邊之和大于第三邊和等邊三角形的性質，進行分析即可.

　　【解答】解：根據三角形的三邊關系，得：BC

　　又AB=BC>PA，

　　∴PA

　　【點評】本題結合旋轉主要考查了三角形的三邊關系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊.

　　13.已知x1，x2是方程x2﹣5x=0的兩個實數根，則x1+x2的值是5.

　　【考點】根與系數的關系.

　　【分析 】利用一元 二次方程根與系數的關系求解即可.

　　【解答】解：∵x1，x2是方程x2﹣5x=0的兩個實數根，

　　∴x1+x2=5.

　　故答案為：5.

　　【點評】本題主要考查了根與系數的關鍵，解題的關鍵是熟記x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根時，x1+x2= .

　　14.拋物線y=﹣ x2可以看作是拋物線y=﹣ (x﹣4)2向左平移4個單位得到的.

　　【考點】二次函數圖象與幾何變換.

　　【分析】直接利用二次函數圖象平移規律進而得出答案.

　　【解答】解：拋物線y=﹣ (x﹣4)2的頂點坐標是(4，0)，拋物線y=﹣ x2的頂點坐標是(0，0).

　　拋物線y=﹣ (x﹣4)2的頂點向左平移4個單位即可得到(0，0).

　　即拋物線y=﹣ x2可以看作是拋物線y=﹣ (x﹣4)2向 左平移4個單位得到的.

　　故答案是：向左平移4個單位.

　　【點評】此題主要考查了二次函數圖象與幾何變換，正確記憶平移規律是解題關鍵.

　　15.如圖，△ABC內接于⊙O，OD⊥BC于點D，∠A=55°，則∠ OCD的度數是35°.

　　【考點】圓周角定理;垂徑定理.

　　【分析】首先連接OB，由在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半，即可求得∠BOC的度數，又由OB=OC，根據等邊對等角的性質，即可求得∠OCD的度數.

　　【解答】解：連接OB，

　　∵∠A=5 5°，

　　∴∠BOC=2∠A=110°，

　　∵OB=OC，

　　∴∠OCD=∠OBC= =35°.

　　故答案為：35°.

　　【點評】此題考查了圓周角定理與等腰三角形的性質.此題難度不大，注意掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對的圓周角等于這條弧所對的圓心角的一半定理的應用，注意掌握輔助線的作法，注意數形結合思想的應用.

　　16.某種商品每件進價為30元，調查表明：在某段時間內若以每件x元(30≤x≤40，且x為整數)出售，可賣出(40﹣x)件，若使利潤最大，每件的售價應為35元.

　　【考點】二次函數的應用.

　　【分析】本題是營銷問題，基本等量關系：利潤=每件利潤×銷售量，每件利潤=每件售價﹣每件進價.再根據所列二次函數求最大值.

　　【解答】解：設最大利潤為w元，

　　則w=(x﹣30 )(40﹣x)=﹣(x﹣35)2+25，

　　∵30≤x≤40，

　　∴當x=35時，二次函數有最大值25.

　　故答案是：35.

　　【點評】本題考查了把實際問題轉化為二次函數，再利用二次函數的性質進行實際應用.此題為數學建模題，借助二次函數解決實際問題.

　　三、解答題(共9小題，計72分，解答應寫出過程)

　　17.解方程：x(x﹣3)=6+3x.

　　【考點】解一元二次方程-配方法.

　　【分析】先去掉括號，再把3x移到等號的左邊，然后再在等式的左右兩邊同時加上一次項系數﹣6的一半的平方，得出(x﹣3)2=15，再開方即可.

　　【解答】解：x(x﹣3)=6+3x，

　　x2﹣3x﹣3x=6，

　　x2﹣6x=6，

　　x2﹣6x+9=15，

　　(x﹣3)2=15，

　　x﹣3=± ，

　　x1=3+ ，x2=3﹣ .

　　【點評】此題考查了配方法解一元二次方程，配方法的一般步驟：

　　(1)把常數項移到等號的右邊;

　　(2)把二次項的系數化為1;

　　(3)等式兩邊同時加上一次項系數一半的平方.

　　選擇用配方法解一元二次方程時，最好使方程的二次項的系數為1，一次項的系數是2的倍數.

　　18.如圖，△ABC繞點C旋轉后，頂點A旋轉到了點A′，畫出旋轉后的三角形并指出一個旋轉角.

　　【考點】作圖 -旋轉變換.

　　【分析】利用旋轉的性質，結合旋轉角定義得出答案.

　　【解答】解：如圖所示：△A′B′C即為所求，旋轉角為∠ACA′.

　　【點評】此題主要考查了旋轉變換，得出對應點位置是解題關鍵.

　　19.拋物線y=2x2﹣m與x軸并于A、B兩點，與y軸交于點C，若∠ACB=90°，求拋物線的解析式.

　　【考點】拋物線與x軸的交點.

　　【分析】由條件可用m表示出A、B、C的坐標，再由條件可得到OA=OB=OC，可求得m的值，可求得拋物線解析式.

　　【解答】解：∵拋物線與x軸交于點A、B，與y軸交于點C，

　　∴A(﹣ ，0)，B( ，0)，C(0，﹣m)，

　　又∵∠ACB=90°，且y軸是拋物線的對稱軸，

　　∴△ABC是等腰直角三角形，

　　∴OA=OB=OC，

　　∴ =m，即 =m2，解得m=0(不合題意，舍去)或m= ，

　　∴y=2x2﹣ .

　　【點評】本題主要考查待定系數法求函數解析式，利用拋物線與x軸的交點及等腰三角形的性質得到關于m的方程是解題的關鍵.

　　20.隨著經濟的發展，鐵路客運量不斷增長，為了滿足乘客需求，火車站開始啟動了擴建工程，其中某項工程，乙隊單獨完成所需時間比甲隊單獨完成所需時間少4個月，并且兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的4.8倍，求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需幾個月?

　　【考點】一元二次方程的應用.

　　【分析】設甲隊單獨完成這項工程需要x個月，則乙隊單獨完成這項工程需要(x﹣4)個月，根據兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的4.8倍建立方程求出其解即可.

　　【解答】解：設甲隊單獨完成這項工程需要x個月，則乙隊單獨完成這項工程需要(x﹣4)個月，由題意，得

　　x(x﹣4)=4.8(x+x﹣4)，

　　解得：x1=1.6(舍去)，x2=12.

　　乙隊單獨完成這項工程需要12﹣4=8個月

　　答：甲隊單獨完成這項工程需要12個月，乙隊單獨完成這項工程需要4個月.

　　【點評】本題考查了工程問題的數量關系的運用，列一元二次方程解實際問題的運用，一元二次方程的解法的運用，解答時根據兩隊單獨完成所需時間的乘積恰好等于兩隊單獨完成所需時間之和的4.8倍建立方程是關鍵.

　　21.⊙O的直徑AB和弦CD相交于點P，已知AP=9cm，PB=3cm，∠CPA=30°，求弦CD的長.

　　【考點】垂徑定理;含30度角的直角三角形;勾股定理.

　　【分析】過點O作OE⊥CD于點E，連接OC，先根據AP=9cm，PB=3cm得出AB=12cm，故可得出OP=3cm，再由直角三角形的性質求出OE的長，根據勾股定理求出CE的長，由垂徑定理即可得出結論.

　　【解答】解：過點O作OE⊥CD于點E，連接OC，

　　∵AP=9cm，PB=3cm，

　　∴AB=12cm，

　　∴OC=OB=6cm，

　　∴OP=6﹣3=3cm.

　　∵∠CPA=30°，

　　∴OE= OP= (cm)，

　　∴CE= = (cm).

　　∵OE過點O且OE⊥CD，

　　∴CD=2CE=3 (cm).

　　【點評】本題考查的是垂徑定理，根據題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.

　　22.如圖，M、N分別是x、y軸上一點，M從坐標(8，0)開始以每秒2個單位的速度沿x軸向O點移動，N從坐標(0，0)開始以每秒3個單位的速度沿y軸向上移動，若M、N兩點 同時出發，經過幾秒，使得△MNO的面積為9個平方單位?

　　【考點】一元二次 方程的應用.

　　【專題】幾何動點問題.

　　【分析】可設經過x秒，使得△MNO的面積為9個平方單位，根據三角形面積公式列出方程求解即可.

　　【解答】解：設經過x秒，使得△MNO的面積為9個平方單位，依題意有

　　×3x(8﹣2x)=9，

　　解得x1=1，x2=3.

　　答：經過1秒或3秒，使得△MNO的面積為9個平方單位.

　　【點評】考查了一元二次方程的應用解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解.

　　23.如圖，A、B、C、D是半徑為10的⊙O上的四點，其中∠CAD=∠ABD°=60°。

　　(1)求證：△ACD是等邊三角形;

　　(2)求圓心O到CD的距離OE.

　　【考點】圓周角定理;垂徑定理.

　　【分析】(1)先根據圓周角定理得出∠ACD=∠ABD=60°，再根據三角形的內角和定理求出∠ADC=60°，然后根據等邊三角形的判定即可證明△ACD是等邊三角形;

　　(2)連接OC，由等邊三角形的性質可知，∠OCE=30°，根據OC=10利用直角三角形的性質即可得出結論.

　　【解答】(1)證明：在△ACD中，

　　∵∠CAD=∠ABD=60°，∠ACD=∠ABD，

　　∴∠ACD=60°，

　　∴∠ADC=180°﹣∠CAD﹣∠ACD=180°﹣60°﹣60°=60°，

　　∴△ACD是等邊三角形;

　　(2)解：連接OC，

　　∵△ACD為等邊三角形，⊙O為其外接圓，

　　∴O也為△ACD的內心，

　　∴CO平分∠ACD，

　　∴∠OCE=30°，

　　∴OE= OC=5.

　　【點評】本題考查了圓周角定理、等邊三角形的判定，直角三角形的性質等知識，將各知識點有機結合，旨在考查同學們的綜合應用能力.

　　24.李爺爺借助如圖所示的直角墻角(兩邊足夠長)，用32m長的籬笆圍成一個矩形花園，想在里面種些花草，籬笆只圍AB、BC兩邊.

　　(1)若花 園的面積為252m2，求AB的長度;

　　(2)若在P處有一棵樹，與墻CD、AD的距離分別是17m和8m，要將這棵樹圍在花園內(含邊界，不考慮樹的粗細)，求花園面積S的最大值.

　　【考點】二次函數的應用.

　　【分析】(1)根據AB=x米可知BC=(32﹣x)米，再根據矩形的面積公式即可得出結論;

　　(2)根據P處有一棵樹與墻CD、AD的距離分別是18米和8米求出x的取值范圍，再根據(1)中的函數關系式即可得出結論;

　　【解答】解：(1)設AB=x米可知BC=(32﹣x)米，根據題意得：x(32﹣x)=252.

　　解這個方程得：x1=18，x2=14，

　　答：AB的長度18m或14m.

　　(2)設周圍的矩形面積為S，

　　則S=x(32﹣x)=﹣(x﹣16)2+256.

　　∵在P處有一棵樹與墻CD，AD的距離是17m和8米，

　　∴8≤x≤15.

　　∴當x=15時，S最大=﹣(15﹣16)2+256=255(平方米).

　　答：花園面積的最大值是255平方米.

　　【點評】本題考查的是二次函數的應用，熟知矩形的面積公式及二次函數的增減性是解答此題的關鍵.

　　25.如圖，拋物線y=﹣ x2+bx+4與x軸交于A(2，0)、B兩點，與y軸交于點C.

　　(1)求b的值;

　　(2)求拋物線的對稱軸及頂點坐標;

　　(3)以點B為直角頂點，BC為直角邊作Rt△BCD，CD交拋物線于第二象限的點P，若PC=PD，求P點的坐標.

　　【考點】二次函數綜合題.

　　【分析】(1)將A點坐標代入即可求出;

　　(2)直接用對稱軸公式與頂點坐示公式計算即可;

　　(3)連接BP，則BP直角角三角形斜邊CD上的中線，即BP=CP，連接OP，可證△BPO與△CPO全等，從而OP平分∠BOC，設出P點坐標代入拋物線解析式即可解出.

　　【解答】解：(1)將A(2，0)代入y=﹣ x2+bx+4得b=﹣1.

　　(2)對稱軸 .

　　，

　　∴頂點坐標：(﹣1， ).

　　(3)連接PB，PO，如圖，

　　令 ，解得x1=﹣4，x2=2，

　　∴B(﹣4，0)，

　　當x=0時，y=4，

　　∴C(0，4)，

　　∴OB=OC，

　　在Rt△BDC中，∵PC=PD，

　　∴BP=PC，

　　在△BPO和△CPO中，

　　，

　　∴△BPO≌△CPO(SSS)，

　　∴OP平分∠COB，

　　設P(m，﹣m)，

　　則有 ，解得：m= ，

　　又P在第二象限，

　　∴P( ， ).

　　【點評】本題考查了待定系數法求二次函數解析式、拋物線的對稱軸公式與頂點坐標公式、直角三角形斜中線定理、全等三角形的判定與性質、解一元二次方程等多個知識點，有一定綜合性，難度適中.第(3)問當中，證明△BPO≌△CPO是關鍵。

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