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2016屆初三數(shù)學上期中考試題
書山有路勤為徑，學海無涯苦作舟。下面是小編整理的2016屆初三數(shù)學上期中考試題，歡迎大家試做。
一、單項選擇題：(每小題3分，共45分)
1.下列方程中是關于x的一元二次方程的是( )
A. B. ax2+bx+c=0
C. (x﹣1)(x+2)=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0
2.拋物線y=2(x+1)2﹣1的頂點坐標是( )
A. (﹣1，1) B. (1，﹣1) C. (﹣1，﹣1) D. (1，1)
3.若x：y=6：5，則下列等式中不正確的是( )
A. B. C. D.
4.如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求.根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
5.如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，則坡面AB的長是( )
A. 10m B. m C. 15m D. m
6.如圖，空心圓柱的左視圖是( )
A. B. C. D.
7.拋物線y=x2+6x+8與y軸的交點坐標是( )
A. (0，8) B. (0，﹣8) C. (0，6) D. (﹣2，0)和(﹣4，0)
8.雙曲線 與 在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
9.△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有 +(2sinA﹣ )2=0，則△ABC是( )
A. 直角(不等腰)三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等腰(不等邊)三角形 D. 等邊三角形
10.函數(shù)y=﹣x2﹣4x+3圖象頂點坐標是( )
A. (2，﹣7) B. (2，7) C. (﹣2，﹣7) D. (﹣2，7)
11.如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則tan∠ACB的值為( )
A. B. C. D. 3
12.如圖，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
13.若二次函數(shù)y=(x﹣m)2﹣1.當x≤l時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是( )
A. m=l B. m>l C. m≥l D. m≤l
14.如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP(P為AB中點)所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE.則∠DEC的大小為( )
A. 78° B. 75° C. 60° D. 45°
15.如圖，一次函數(shù)y1=k1+2與反比例函數(shù)y2= 的圖象交點A(m，4)和B(﹣8，﹣2)兩點，若y1>y2，則x的取值范圍是( )
A. x<﹣8或04或﹣84
二、填空題：(每小題3分，共18分)
16.為了估計池塘里有多少條魚，從池塘里捕捉了100條魚，做上標記，然后放回池塘里，經(jīng)過一段時間后，等有標記的魚完全混合于池塘中魚群后，再捕第二次樣本魚200條，發(fā)現(xiàn)其中有標志的魚25條，你估計一下，該池塘里現(xiàn)在有魚 條.
17.我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形.現(xiàn)有一個對角線分別為6cm和8cm的菱形，它的中點四邊形的兩條對角線長之和是 cm.
18.在一次同學聚會時，大家一見面就相互握手.有人統(tǒng)計了一下，大家一共握了45次手，參加這次聚會的同學共有多少人?若參加聚會有x名同學，可列方程 .
19.反比例函數(shù)y= 的圖象上有一點A(x，y)，且x，y是方程a2﹣a﹣1=0的兩個根，則k=
20.如圖，四邊形ABCD為正方形，AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE、CE與DB相交于點F，則∠AFD= 度.
21.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為(4，0)，(8，2)，(6，4).已知△A1B1C1的兩個頂點的坐標為(1，3)，(2，5)，若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為 .
三、解答題(要有必要的解答過程和相應的文字說明)
22.(1)解方程：2x2﹣3x=0;
(2)如圖，AC是菱形ABCD的對角線，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=AF.求證：CE=CF.
23.(1)計算：2﹣1+(π﹣3.14)0+sin60°﹣|﹣ |
(2)如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinC= ，點D是BC上一點，且DC=AC.求BD的長.
24.如圖①，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的邊.如圖②，地毯中央的矩形圖案長6米、寬3米，整個地毯的面積是40平方米.求花邊的寬.
25.甲乙兩名同學做摸球游戲，他們把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.
(1)求從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率;
(2)從袋中隨機摸出一球后放回，搖勻后再隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標號之和為偶數(shù)時，則甲勝;若兩次摸出的球的標號之和為奇數(shù)時，則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.
26.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E(4，n)在邊AB上，反比例函數(shù) (k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E，且tan∠BOA= .
(1)求邊AB的長;
(2)求反比例函數(shù)的解析式和n的值;
(3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長.
27.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1，0)和B(3，0)，點C(m， )在拋物線的對稱軸上.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式.
(2)求證：△ABC是等腰三角形.
(3)動點P在線段AC上，從點A出發(fā)以每鈔1個單位的速度向C運動，同時動點Q在線段AB上，從B出發(fā)以每秒1個單位的速度向A運動.當Q到達點A時，兩點同時停止運動.設運動時間為t秒，求當t為何值時，△APQ與△ABC相似.
28.如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H.
(1)求證： ;
(2)設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值;
(3)當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動(當點Q與點C重合時停止運動)，設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，當0≤t<4時，求S與t的函數(shù)關系式.
參考答案
一、單項選擇題：(每小題3分，共45分)
1.下列方程中是關于x的一元二次方程的是( )
A. B. ax2+bx+c=0
C. (x﹣1)(x+2)=1 D. 3x2﹣2xy﹣5y2=0
考點： 一元二次方程的定義.
專題： 方程思想.
分析： 一元二次方程必須滿足四個條件：
(1)未知數(shù)的最高次數(shù)是2;
(2)二次項系數(shù)不為0;
(3)是整式方程;
(4)含有一個未知數(shù).由這四個條件對四個選項進行驗證，滿足這四個條件者為正確答案.
解答： 解：A、原方程為分式方程;故A選項錯誤;
B、當a=0時，即ax2+bx+c=0的二次項系數(shù)是0時，該方程就不是一元二次方程;故B選項錯誤;
C、由原方程，得x2+x﹣3=0，符合一元二次方程的要求;故C選項正確;
D、方程3x2﹣2xy﹣5y2=0中含有兩個未知數(shù);故D選項錯誤.
故選：C.
點評： 本題考查了一元二次方程的概念，判斷一個方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化簡后是否是只含有一個未知數(shù)且未知數(shù)的最高次數(shù)是2.
2.拋物線y=2(x+1)2﹣1的頂點坐標是( )
A. (﹣1，1) B. (1，﹣1) C. (﹣1，﹣1) D. (1，1)
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì).
分析： 直接利用頂點式的特點可求頂點坐標.
解答： 解：因為y=2(x+1)2﹣1是拋物線的頂點式，
根據(jù)頂點式的坐標特點可知，頂點坐標為(﹣1，﹣1)，
故選C.
點評： 主要考查了求拋物線的對稱軸和頂點坐標的方法.牢記二次函數(shù)的頂點式是解答本題的關鍵.
3.若x：y=6：5，則下列等式中不正確的是( )
A. B. C. D.
考點： 比例的性質(zhì).
分析： 根據(jù)比例設x=6k，y=5k，然后分別代入對各選項進行計算即可判斷.
解答： 解：∵x：y=6：5，
∴設x=6k，y=5k，
A、 = = ，故本選項錯誤;
B、 = = ，故本選項錯誤;
C、 = =6，故本選項錯誤;
D、 = =﹣5，故本選項正確.
故選D.
點評： 本題考查了比例的性質(zhì)，利用“設k”法表示出x、y可以使計算更加簡便.
4.如圖，小聰在作線段AB的垂直平分線時，他是這樣操作的：分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，則直線CD即為所求.根據(jù)他的作圖方法可知四邊形ADBC一定是( )
A. 矩形 B. 菱形 C. 正方形 D. 等腰梯形
考點： 菱形的判定;線段垂直平分線的性質(zhì).
專題： 壓軸題.
分析： 根據(jù)垂直平分線的畫法得出四邊形ADBC四邊的關系進而得出四邊形一定是菱形.
解答： 解：∵分別以A和B為圓心，大于 AB的長為半徑畫弧，兩弧相交于C、D，
∴AC=AD=BD=BC，
∴四邊形ADBC一定是菱形，
故選：B.
點評： 此題主要考查了線段垂直平分線的性質(zhì)以及菱形的判定，得出四邊形四邊關系是解決問題的關鍵.
5.如圖所示，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，堤高BC=5m，則坡面AB的長是( )
A. 10m B. m C. 15m D. m
考點： 解直角三角形的應用-坡度坡角問題.
專題： 壓軸題.
分析： 由河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，可得到∠BAC=30°，所以求得AB=2BC，得出答案.
解答： 解：河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1： ，
即tan∠BAC= = = ，
∴∠BAC=30°，
∴AB=2BC=2×5=10m，
故選：A.
點評： 此題考查的是解直角三角形的應用，關鍵是先由已知得出∠BAC=30°，再求出AB.
6.如圖，空心圓柱的左視圖是( )
A. B. C. D.
考點： 簡單組合體的三視圖.
分析： 找到從左面看所得到的圖形即可，注意所有的棱都應表現(xiàn)在左視圖中.
解答： 解：圓柱的左視圖是矩形，里面有兩條用虛線表示的看不到的棱，
故選：C.
點評： 本題考查了三視圖的知識，左視圖是從物體的左面看得到的視圖;注意看得到的棱畫實線，看不到的棱畫虛線.
7.拋物線y=x2+6x+8與y軸的交點坐標是( )
A. (0，8) B. (0，﹣8) C. (0，6) D. (﹣2，0)和(﹣4，0)
考點： 二次函數(shù)圖象上點的坐標特征.
專題： 計算題.
分析： 根據(jù)y軸上點的坐標特征把x=0代入解析式求出函數(shù)值即可確定拋物線與y軸的交點坐標.
解答： 解：把x=0代入得y=8，
所以拋物線y=x2+6x+8與y軸的交點坐標是(0，8).
故選A.
點評： 本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標特征：二次函數(shù)圖象上的坐標滿足其解析式.也考查了二次函數(shù)的性質(zhì).
8.雙曲線 與 在第一象限內(nèi)的圖象如圖所示，作一條平行于y軸的直線分別交雙曲線于A、B兩點，連接OA、OB，則△AOB的面積為( )
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
考點： 反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義.
分析： 如果設直線AB與x軸交于點C，那么△AOB的面積=△AOC的面積﹣△COB的面積.根據(jù)反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義，知△AOC的面積=5，△COB的面積=3，從而求出結果.
解答： 解：設直線AB與x軸交于點C.
∵AB∥y軸，
∴AC⊥x軸，BC⊥x軸.
∵點A在雙曲線y= 的圖象上，∴△AOC的面積= ×10=5.
點B在雙曲線y= 的圖象上，∴△COB的面積= ×6=3.
∴△AOB的面積=△AOC的面積﹣△COB的面積=5﹣3=2.
故選B.
點評： 本題主要考查反比例函數(shù)的比例系數(shù)k的幾何意義.反比例函數(shù)圖象上的點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S的關系，即S= |k|.
9.△ABC中，∠A，∠B均為銳角，且有 +(2sinA﹣ )2=0，則△ABC是( )
A. 直角(不等腰)三角形 B. 等腰直角三角形
C. 等腰(不等邊)三角形 D. 等邊三角形
考點： 特殊角的三角函數(shù)值;非負數(shù)的性質(zhì)：絕對值;非負數(shù)的性質(zhì)：偶次方.
分析： 一個數(shù)的絕對值以及平方都是非負數(shù)，兩個非負數(shù)的和是0，因而每個都是0，就可以求出tanB，以及sinA的值.進而得到∠A，∠B的度數(shù).判斷△ABC的形狀.
解答： 解：∵ +(2sinA﹣ )2=0，
根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)，tanB= ;2sinA﹣ =0.
∴∠B=60°，∠A=60°.
則∠C=60°，△ABC為等邊三角形.
故選D.
點評： 本題考查特殊角三角函數(shù)值的計算，特殊角三角函數(shù)值計算在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，題型以選擇題、填空題為主.
【相關鏈接】非負數(shù)的性質(zhì)(之一)：有限個非負數(shù)的和為零，那么每一個加數(shù)也必為零，即若a1，a2，…，an為非負數(shù)，且a1+a2+…+an=0，則必有a1=a2=…=an=0.
10.函數(shù)y=﹣x2﹣4x+3圖象頂點坐標是( )
A. (2，﹣7) B. (2，7) C. (﹣2，﹣7) D. (﹣2，7)
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì).
分析： 先把二次函數(shù)化為頂點式的形式，再得出其頂點坐標即可.
解答： 解：∵原函數(shù)解析式可化為：y=﹣(x+2)2+7，
∴函數(shù)圖象的頂點坐標是(﹣2，7).
故選D.
點評： 本題考查的是二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)題意把二次函數(shù)的解析式化為頂點式的形式是解答此題的關鍵.
11.如圖，在8×4的矩形網(wǎng)格中，每格小正方形的邊長都是1，若△ABC的三個頂點在圖中相應的格點上，則tan∠ACB的值為( )
A. B. C. D. 3
考點： 銳角三角函數(shù)的定義.
專題： 網(wǎng)格型.
分析： 結合圖形，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義即可求解.
解答： 解：由圖形知：tan∠ACB= = ，
故選A.
點評： 本題考查了銳角三角函數(shù)的定義，屬于基礎題，關鍵是掌握銳角三角函數(shù)的定義.
12.如圖，在△ABC中，EF∥BC， = ，S四邊形BCFE=8，則S△ABC=( )
A. 9 B. 10 C. 12 D. 13
考點： 相似三角形的判定與性質(zhì).
專題： 計算題.
分析： 求出 的值，推出△AEF∽△ABC，得出 = ，把S四邊形BCFE=8代入求出即可.
解答： 解：∵ = ，
∴ = = ，
∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，
∴ = = ，
∴9S△AEF=S△ABC，
∵S四邊形BCFE=8，
∴9(S△ABC﹣8)=S△ABC，
解得：S△ABC=9.
故選A.
點評： 本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定的應用，注意：相似三角形的面積比等于相似比的平方，題型較好，但是一道比較容易出錯的題目.
13.若二次函數(shù)y=(x﹣m)2﹣1.當x≤l時，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是( )
A. m=l B. m>l C. m≥l D. m≤l
考點： 二次函數(shù)的性質(zhì).
分析： 根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，利用二次函數(shù)的對稱軸不大于1列式計算即可得解.
解答： 解：二次函數(shù)y=(x﹣m)2﹣1的對稱軸為直線x=﹣m，
∵當x≤l時，y隨x的增大而減小，
∴m≥1，
故選C.
點評： 本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，主要利用了二次函數(shù)的增減性，熟記性質(zhì)并列出不等式是解題的關鍵.
14.如圖，菱形紙片ABCD中，∠A=60°，折疊菱形紙片ABCD，使點C落在DP(P為AB中點)所在的直線上，得到經(jīng)過點D的折痕DE.則∠DEC的大小為( )
A. 78° B. 75° C. 60° D. 45°
考點： 翻折變換(折疊問題);菱形的性質(zhì).
專題： 計算題.
分析： 連接BD，由菱形的性質(zhì)及∠A=60°，得到三角形ABD為等邊三角形，P為AB的中點，利用三線合一得到DP為角平分線，得到∠ADP=30°，∠ADC=120°，∠C=60°，進而求出∠PDC=90°，由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出所求角的度數(shù).
解答： 解：連接BD，
∵四邊形ABCD為菱形，∠A=60°，
∴△ABD為等邊三角形，∠ADC=120°，∠C=60°，
∵P為AB的中點，
∴DP為∠ADB的平分線，即∠ADP=∠BDP=30°，
∴∠PDC=90°，
∴由折疊的性質(zhì)得到∠CDE=∠PDE=45°，
在△DEC中，∠DEC=180°﹣(∠CDE+∠C)=75°.
故選：B.
點評： 此題考查了翻折變換(折疊問題)，菱形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，以及內(nèi)角和定理，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解本題的關鍵.
15.如圖，一次函數(shù)y1=k1+2與反比例函數(shù)y2= 的圖象交點A(m，4)和B(﹣8，﹣2)兩點，若y1>y2，則x的取值范圍是( )
A. x<﹣8或04或﹣84
考點： 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題.
專題： 計算題.
分析： 根據(jù)反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題，先把B點坐標代入y2= 可計算出k2，確定反比例函數(shù)解析式，再把A(m，4)代入反比例函數(shù)解析式確定A點坐標，然后根據(jù)圖象，找出一次函數(shù)圖象在反比例函數(shù)圖象上方所對應的自變量的取值范圍即可.
解答： 解：把B(﹣8，﹣2)代入y2= 得k2=﹣8×(﹣2)=16，
則分別漯河市解析式為y2= ，
把A(m，4)代入y2= 得4m=16，解得m=4，
所以A點坐標為(4，4)，
當﹣84時，y1>y2.
故選B.
點評： 本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點.
二、填空題：(每小題3分，共18分)
16.為了估計池塘里有多少條魚，從池塘里捕捉了100條魚，做上標記，然后放回池塘里，經(jīng)過一段時間后，等有標記的魚完全混合于池塘中魚群后，再捕第二次樣本魚200條，發(fā)現(xiàn)其中有標志的魚25條，你估計一下，該池塘里現(xiàn)在有魚 800 條.
考點： 用樣本估計總體.
專題： 計算題.
分析： 利用第二次樣本魚200條，其中有標志的魚25條估計池塘里現(xiàn)在有標志的魚的百分比，于是可得100：x=25：200，然后解方程即可.
解答： 解：設該池塘里現(xiàn)在有魚x條，根據(jù)題意得100：x=25：200，解得x=800，
所以可估計該池塘里現(xiàn)在有魚800條.
故答案為800.
點評： 本題考查了用樣本估計總體：用樣本估計總體是統(tǒng)計的基本思想，用樣本的數(shù)字特征估計總體的數(shù)字特征(主要數(shù)據(jù)有眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)、標準差與方差 ).
17.我們把順次連接四邊形四條邊的中點所得的四邊形叫中點四邊形.現(xiàn)有一個對角線分別為6cm和8cm的菱形，它的中點四邊形的兩條對角線長之和是 10 cm.
考點： 中點四邊形.
分析： 根據(jù)順次連接這個菱形各邊中點所得的四邊形是矩形，且矩形的邊長分別是菱形對角線的一半，問題得解.
解答： 解：∵E、F、G、H分別為各邊中點
∴EF∥GH∥AC，EF=GH= AC，
EH=FG= BD，EH∥FG∥BD
∵DB⊥AC，
∴EF⊥EH，
∴四邊形EFGH是矩形，
∵EH= BD=3cm，EF= AC=4cm，
∴HF= =5(cm)，
∴它的中點四邊形的兩條對角線長之和是：5+5=10(cm).
故答案為：10.
點評： 本題考查了菱形的性質(zhì)，菱形的四邊相等，對角線互相垂直，連接菱形各邊的中點得到矩形，且矩形的邊長是菱形對角線的一半以及勾股定理的運用.
18.在一次同學聚會時，大家一見面就相互握手.有人統(tǒng)計了一下，大家一共握了45次手，參加這次聚會的同學共有多少人?若參加聚會有x名同學，可列方程 =45 .
考點： 由實際問題抽象出一元二次方程.
分析： 設這次聚會的同學共x人，則每個人握手(x﹣1)次，而兩個人之間握手一次，因而共握手 次，即可列方程求解.
解答： 解：設參加聚會的同學共有x人，由題意，得
=45.
故答案為 =45.
點評： 本題考查理解題意的能力，每個人握了(x﹣1)次，共有x人，但有重復的，從而得到方程.
19.反比例函數(shù)y= 的圖象上有一點A(x，y)，且x，y是方程a2﹣a﹣1=0的兩個根，則k= ﹣1
考點： 待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式;根與系數(shù)的關系.
分析： 利用一元二次方程的根與系數(shù)的關系可以計算兩根的積，而k=xy，據(jù)此即可求解.
解答： 解：x、y是方程a2﹣a﹣1=0的根，
則有xy=﹣1，
又∵點A(x，y)在反比例函數(shù)y= 的圖象上，
∴xy=k，∴k=﹣1.
點評： 本題考查了一元二次方程的根與系數(shù)的關系.x1+x2=﹣ ，x1x2= .
20.如圖，四邊形ABCD為正方形，AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE、CE與DB相交于點F，則∠AFD= 60 度.
考點： 正方形的性質(zhì);三角形內(nèi)角和定理;等邊三角形的性質(zhì).
分析： 根據(jù)正方形及等邊三角形的性質(zhì)求得∠AFE，∠BFE的度數(shù)，再根據(jù)外角的性質(zhì)即可求得答案.
解答： 解：∵∠CBA=90°，∠ABE=60°，
∴∠CBE=150°，
∵四邊形ABCD為正方形，三角形ABE為等邊三角形
∴BC=BE，
∴∠BEC=15°，
∵∠FBE=∠DBA+∠ABE=105°，
∴∠BFE=60°，
在△CBF和△ABF中，
，
∴△CBF≌△ABF(SAS)，
∴∠BAF=∠BCE=15°，
又∠ABF=45°，且∠AFD為△AFB的外角，
∴∠AFD=∠ABF+∠FAB=15°+45°=60°.
故答案為60.
點評： 本題考查等邊、等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理的綜合運用.
21.如圖，在平面直角坐標系中，△ABC的頂點坐標分別為(4，0)，(8，2)，(6，4).已知△A1B1C1的兩個頂點的坐標為(1，3)，(2，5)，若△ABC與△A1B1C1位似，則△A1B1C1的第三個頂點的坐標為 (3，4)或(0，4) .
考點： 位似變換;坐標與圖形性質(zhì).
分析： 首先由題意可求得直線AC、AB、BC的解析式與過點(1，3)，(2，5)的直線的解析式，即可知過這兩點的直線與直線AC平行，則可分別從①若A的對應點為A1(1，3)，C的對應點為C1(2，5)與②若C的對應點為A1(1，3)，A的對應點為C1(2，5)去分析求解，即可求得答案.
解答： 解：設直線AC的解析式為：y=kx+b，
∵△ABC的頂點坐標分別為(4，0)，(8，2)，(6，4)，
∴ ，
解得： ，
∴直線AC的解析式為：y=2x﹣8，
同理可得：直線AB的解析式為：y= x﹣2，直線BC的解析式為：y=﹣x+10，
∵△A1B1C1的兩個頂點的坐標為(1，3)，(2，5)，
∴過這兩點的直線為：y=2x+1，
∴過這兩點的直線與直線AC平行，
①若A的對應點為A1(1，3)，C的對應點為C1(2，5)，
則B1C1∥BC，B1A1∥BA，
設直線B1C1的解析式為y=﹣x+a，直線B1A1的解析式為y= x+b，
∴﹣2+a=5， +b=3，
解得：a=7，b= ，
∴直線B1C1的解析式為y=﹣x+7，直線B1A1的解析式為y= x+ ，
則直線B1C1與直線B1A1的交點為：(3，4);
②若C的對應點為A1(1，3)，A的對應點為C1(2，5)，
則B1A1∥BC，B1C1∥BA，
設直線B1C1的解析式為y= x+c，直線B1A1的解析式為y=﹣x+d，
∴ ×2+c=5，﹣1+d=3，
解得：c=4，d=4，
∴直線B1C1的解析式為y= x+4，直線B1A1的解析式為y=﹣x+4，
則直線B1C1與直線B1A1的交點為：(0，4).
∴△A1B1C1的第三個頂點的坐標為(3，4)或(0，4).
故答案為：(3，4)或(0，4).
點評： 此題考查了位似圖形的性質(zhì).此題難度適中，注意掌握位似圖形的對應線段互相平行，注意掌握待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式的知識，注意分類討論思想與數(shù)形結合思想的應用.
三、解答題(要有必要的解答過程和相應的文字說明)
22.(1)解方程：2x2﹣3x=0;
(2)如圖，AC是菱形ABCD的對角線，點E，F(xiàn)分別在AB，AD上，且AE=AF.求證：CE=CF.
考點： 菱形的性質(zhì);解一元二次方程-因式分解法;全等三角形的判定與性質(zhì).
分析： (1)將方程左邊的多項式提取公因式x，分解因式后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程，求出一次方程的解即可得到原方程的解.
(2)根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用SAS判定△ACE≌△ACF，從而求得CE=CF.
解答： (1)解：x(2x﹣3)=0，
x=0或2x﹣3=0，
∴x1=0，x2= ;
(2)證明：∵四邊形ABCD是菱形，
∴∠EAC=∠FAC，
又∵AE=AF，AC為公共邊，
在△ACE和△ACF中，
，
∴△ACE≌△ACF(SAS)，
∴CE=CF.
點評： (1)此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，利用因式分解法解方程時，首先將方程右邊化為0，左邊化為積的形式，然后利用兩數(shù)相乘積為0，兩因式中至少有一個為0轉化為兩個一元一次方程來求解.
(2)本題考查三角形全等的判定方法，判定兩個三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.判定兩個三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件.
23.(1)計算：2﹣1+(π﹣3.14)0+sin60°﹣|﹣ |
(2)如圖，在△ABC中，AB=AC=10，sinC= ，點D是BC上一點，且DC=AC.求BD的長.
考點： 解直角三角形;實數(shù)的運算;零指數(shù)冪;負整數(shù)指數(shù)冪;特殊角的三角函數(shù)值.
分析： (1)分別根據(jù)0指數(shù)冪、負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值即絕對值的性質(zhì)計算出各數(shù)，再根據(jù)實數(shù)混合運算的法則進行計算即可;
(2)過點A作AE⊥BC于點E，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得出BE=CE，在Rt△ACE中根據(jù)AC=10，sin∠C= ，得出AE=6，由勾股定理求出CE的值，再由BD=BC﹣BD=BC﹣AC即可得出結論.
解答： (1)解：原式= +1+ ﹣
= ;
(2)解：過點A作AE⊥BC于點E，
∵AB=AC，
∴BE=CE，
在Rt△ACE中，AC=10，sin∠C= ，
∴AE=6，
∴CE= =8，
∴BD=2CE=16，
∴BD=BC﹣BD=BC﹣AC=6.
點評： 本題考查的是解直角三角形，根據(jù)題意作出輔助線，構造出直角三角形是解答此題的關鍵.
24.如圖①，在一幅矩形地毯的四周鑲有寬度相同的邊.如圖②，地毯中央的矩形圖案長6米、寬3米，整個地毯的面積是40平方米.求花邊的寬.
考點： 一元二次方程的應用.
專題： 幾何圖形問題.
分析： 本題可根據(jù)地毯的面積為40平方米來列方程，其等量關系式可表示為：
(矩形圖案的長+兩個花邊的寬)×(矩形圖案的寬+兩個花邊的寬)=地毯的面積.
解答： 解：設花邊的寬為x米，
根據(jù)題意得(2x+6)(2x+3)=40，
解得x1=1，x2=﹣ ，
x2=﹣ 不合題意，舍去.
答：花邊的寬為1米.
點評： 本題可根據(jù)關鍵語句和等量關系列出方程，判斷所求的解是否符合題意，舍去不合題意的解.
25.甲乙兩名同學做摸球游戲，他們把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中.
(1)求從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率;
(2)從袋中隨機摸出一球后放回，搖勻后再隨機摸出一球，若兩次摸出的球的標號之和為偶數(shù)時，則甲勝;若兩次摸出的球的標號之和為奇數(shù)時，則乙勝;試分析這個游戲是否公平?請說明理由.
考點： 游戲公平性;概率公式;列表法與樹狀圖法.
專題： 探究型.
分析： (1)由把三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，直接利用概率公式求解即可求得答案;
(2)首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結果與甲勝，乙勝的情況，即可求得求概率，比較大小，即可知這個游戲是否公平.
解答： 解：(1)由于三個分別標有1，2，3的大小和形狀完全相同的小球放在一個不透明的口袋中，
故從袋中隨機摸出一球，標號是1的概率為： ;
(2)這個游戲不公平.
畫樹狀圖得：
∵共有9種等可能的結果，兩次摸出的球的標號之和為偶數(shù)的有5種情況，兩次摸出的球的標號之和為奇數(shù)的有4種情況，
∴P(甲勝)= ，P(乙勝)= .
∴P(甲勝)≠P(乙勝)，
故這個游戲不公平.
點評： 本題考查的是游戲公平性的判斷.判斷游戲公平性就要計算每個事件的概率，概率相等就公平，否則就不公平.
26.如圖，矩形OABC的頂點A、C分別在x、y軸的正半軸上，點D為對角線OB的中點，點E(4，n)在邊AB上，反比例函數(shù) (k≠0)在第一象限內(nèi)的圖象經(jīng)過點D、E，且tan∠BOA= .
(1)求邊AB的長;
(2)求反比例函數(shù)的解析式和n的值;
(3)若反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，將矩形折疊，使點O與點F重合，折痕分別與x、y軸正半軸交于點H、G，求線段OG的長.
考點： 反比例函數(shù)綜合題.
專題： 綜合題.
分析： (1)根據(jù)點E的縱坐標判斷出OA=4，再根據(jù)tan∠BOA= 即可求出AB的長度;
(2)根據(jù)(1)求出點B的坐標，再根據(jù)點D是OB的中點求出點D的坐標，然后利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式求出反比例函數(shù)解析式，再把點E的坐標代入進行計算即可求出n的值;
(3)先利用反比例函數(shù)解析式求出點F的坐標，從而得到CF的長度，連接FG，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得FG=OG，然后用OG表示出CG的長度，再利用勾股定理列式計算即可求出OG的長度.
解答： 解：(1)∵點E(4，n)在邊AB上，
∴OA=4，
在Rt△AOB中，∵tan∠BOA= ，
∴AB=OA×tan∠BOA=4× =2;
(2)根據(jù)(1)，可得點B的坐標為(4，2)，
∵點D為OB的中點，
∴點D(2，1)
∴ =1，
解得k=2，
∴反比例函數(shù)解析式為y= ，
又∵點E(4，n)在反比例函數(shù)圖象上，
∴ =n，
解得n= ;
(3)如圖，設點F(a，2)，
∵反比例函數(shù)的圖象與矩形的邊BC交于點F，
∴ =2，
解得a=1，
∴CF=1，
連接FG，設OG=t，則OG=FG=t，CG=2﹣t，
在Rt△CGF中，GF2=CF2+CG2，
即t2=(2﹣t)2+12，
解得t= ，
∴OG=t= .
點評： 本題綜合考查了反比例函數(shù)的知識，包括待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，點在函數(shù)圖象上，銳角三角函數(shù)的定義，以及折疊的性質(zhì)，求出點D的坐標，然后求出反比例函數(shù)解析式是解題的關鍵.
27.如圖，拋物線y=ax2+bx+3經(jīng)過點A(1，0)和B(3，0)，點C(m， )在拋物線的對稱軸上.
(1)求拋物線的函數(shù)表達式.
(2)求證：△ABC是等腰三角形.
(3)動點P在線段AC上，從點A出發(fā)以每鈔1個單位的速度向C運動，同時動點Q在線段AB上，從B出發(fā)以每秒1個單位的速度向A運動.當Q到達點A時，兩點同時停止運動.設運動時間為t秒，求當t為何值時，△APQ與△ABC相似.
考點： 二次函數(shù)綜合題.
專題： 綜合題.
分析： (1)將點A、點B的坐標代入拋物線解析式可得出a、b的值，繼而得出拋物線的函數(shù)表達式;
(2)由拋物線解析式可得出m的值，求出CA、CB的長度，即可得出結論;
(3)分兩種情況討論，①當∠APQ=∠ACB時，△APQ∽△ACB，②當∠APQ=∠ABC時，△APQ∽△ABC，利用對應邊成比例解出t的值即可.
解答： 解：(1)把A(1，0)和B(3，0)代入y=ax2+bx+3得： ，
解得： ，
∴拋物線的函數(shù)解析式是y=x2﹣4x+3.
(2)拋物線的對稱軸是x=2，
∵點C(m， )在拋物線對稱軸上，
∴m=2，
∴點C(2， )，
∴CA= =4，CB= =4，
∴CA=CB
∴△ABC是等腰三角形.
(3)∠A是公共角，
①當∠APQ=∠ACB時，△APQ∽△ACB，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，
∴ = ，
解得：t= .
②當∠APQ=∠ABC時，△APQ∽△ABC，
∵AB=2，AC=4，AP=t，AQ=2﹣t，
∴ = ，
∴t= ，
∴當t= 或t= 時，△APQ與△ABC相似.
點評： 本題考查了二次函數(shù)的綜合題，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式、等腰三角形的判定及相似三角形的判定與性質(zhì)，難點在第三問，關鍵是分類討論，不要漏解，注意相似三角形的對應邊成比例.
28.如圖，在△ABC中，∠C=45°，BC=10，高AD=8，矩形EFPQ的一邊QP在邊上，E、F兩點分別在AB、AC上，AD交EF于點H.
(1)求證： ;
(2)設EF=x，當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大?并求其最大值;
(3)當矩形EFPQ的面積最大時，該矩形EFPQ以每秒1個單位的速度沿射線QC勻速運動(當點Q與點C重合時停止運動)，設運動時間為t秒，矩形EFPQ與△ABC重疊部分的面積為S，當0≤t<4時，求S與t的函數(shù)關系式.
考點： 相似形綜合題.
分析： (1)首先判斷出△AEF∽△ABC，即可推得 ;然后判斷出△AEH∽△ABD，即可推得 .
(2)首先求出EQ的值是多少;然后根據(jù)S矩形EFPQ=EF•EQ，求出S矩形EFPQ關于x的函數(shù)關系式，再應用配方法，求出當x為何值時，矩形EFPQ的面積最大，以及S矩形EFPQ的最大值是多少即可.
(3)首先判斷出△FPC是等腰直角三角形，求出PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=9;然后設EF、PF分別交AC于點M、N，判斷出△MFN是等腰直角三角形，推得FN=MF=t，求出S與t的函數(shù)關系式即可.
解答： (1)證明：∵四邊形EFPQ是矩形，
∴EF∥QP，
∴△AEF∽△ABC，
∴ ，
又∵△AEH∽△ABD，
∴ ，
∴ .
(2)解：由(1)得 = ，
∴AH= x，
∴EQ=HD=AD﹣AH=8﹣ x，
∴S矩形EFPQ=EF•EQ=x(8﹣ x)=﹣ x2+8x=﹣ (x﹣5)2+20，
∵﹣ <0，
∴當x=5時，S矩形EFPQ有最大值，最大值為20.
(3)解：如圖1，
由(2)得EF=5，EQ=8﹣ =8﹣4=4，
∵∠C=45°，△FPC是等腰直角三角形，
∴PC=FP=EQ=4，QC=QP+PC=5+4=9.
如圖2， ，
當0≤t<4時，
設EF、PF分別交AC于點M、N，
∵∠MFN=90°，∠FMN=∠C=45°，
∴FNM=45°，
∴△MFN是等腰直角三角形，
∴FN=MF=t，
∴S=S矩形EFPQ﹣S△MFN=20﹣ t2=﹣ t2+20.
點評： (1)此題主要考查了相似形綜合題，考查了分析推理能力，考查了空間想象能力，考查了數(shù)形結合思想的應用，要熟練掌握.
(2)此題還考查了三角形相似的判定和性質(zhì)的應用，要熟練掌握，解答此題的關鍵是要明確：①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似;②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似;③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似.
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