平面體系的幾何組成分析

時間：2024-11-02 19:32:13 結構工程師我要投稿

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平面體系的幾何組成分析

　　按照機械運動及幾何學的觀點，對平面結構或體系的組成情況進行分析，稱為平面體系的幾何組成分析。

　　一、名詞定義

　　(一)剛片和剛片系

　　不會產生變形的剛性平面體稱為剛片。在體系的幾何組成分析中，不考慮桿件微小的應變，這種不計應變的平面桿件就是剛片，由剛片組成的體系稱為剛片系。

　　(二)幾何可變體系和幾何不變體系

　　當不考慮材料的應變時，體系中各桿的相對位置或體系的形狀可以改變的體系稱為幾何可變體系。否則，體系就稱為幾何不變體系。一般的實際結構，都必須是幾何不變體系。

　　(三)自由度、約束和對象

　　物體運動時的獨立幾何參數數目稱為自由度。例如一個點在平面內的自由度為2，一個剛片在平面內的自由度為3。

　　減少體系獨立運動參數的裝置稱為約束，被約束的物體稱為對象。使體系減少一個獨立運動參數的裝置稱為一個約束。例如一根鏈桿相當于一個約束;一個連接兩個剛片的單鉸相當于二個約束;一個連接n個剛片的復鉸相當于n—1個單鉸;一個連接二個剛片的單剛性節點相當于三個約束;一個連接n個剛片的復剛性節點相當于n—1個單剛性節點。

　　一個平面體系的自由度w可按下式確定

　　W=3n—2H—R

　　其中n為體系中的剛片總數，H、R分別為體系中的單鉸總數和支桿總數。例如圖1-1所示體系的自由度分別為1和0。自由度大于零的體系一定是幾何可變的。自由度等于零及小于零的體系，可能是幾何不變的也可能是幾何可變的，要根據體系中的約束布置情況確定。

　　(a) (b)

　　圖1-1

　　(四)必要約束和多余約束

　　如果在體系中增加一個約束，體系減少一個獨立的運動參數，則此約束稱為必要約束。如果在體系中增加一個約束，體系的獨立運動參數并不減少，則此約束稱為多余約束。平面內一個無鉸的剛性閉合桿(或稱單閉合桿)具有三個多余約束。

　　(五)等效代替

　　1.等效剛片

　　幾何組成分析時，一個內部幾何不變的平面體系，可用一個相應的剛片來代替，此剛片稱為等效剛片。

　　2.等效鏈桿

　　幾何組成分析時，一根兩端為鉸的非直線形桿件，可用一根相應的兩端為鉸的直線形鏈桿來代替，此直線形鏈桿稱為等效鏈桿。

　　3.虛鉸

　　連接兩個剛片的兩根鏈桿的交叉點或其延長線的交點稱為虛鉸(如圖1-2)。兩根鏈桿對兩個剛片運動的約束效果與相應的虛鉸是等效的。

　　(a) (b)

　　圖1-2

　　二、平面體系的幾何組成分析

　　(一)平面幾何不變體系的基本組成規則及瞬變體系、常變體系

　　判定體系是否滿足幾何不變的充分條件是幾何不變體系的基本組成規則。

　　1.兩剛片連接規則

　　兩個剛片用不相交于一點或不互相平行的三根鏈桿連接成的體系，是內部幾何不變且無多余約束的體系。

　　2.三剛片連接規則

　　三個剛片用三個不在一條直線上的單鉸(虛鉸或實鉸)兩兩相連而成的體系，是內部幾何不變且無多余約束的體系。

　　兩剛片、三剛片連接規則實際上是可以相互變換溝通的。

　　3.兩元片和一元片規則

　　由上述兩剛片、三剛片連接規則可得如下的兩元片和一元片規則。由兩根不在同一直線上的鏈桿連接一個新節點的裝置稱為兩元片;由三根不相交于一點的鏈桿連接一個剛片的裝置稱為一元片。在一個體系上增加或去除兩元片、一元片，不影響原體系的幾何不變性或可變性。

　　4.瞬變體系和常變體系

　　只能作微小運動的體系稱為瞬變體系。例如圖1-3所示的體系均為瞬變體系。能作非常微小運動的體系稱為常變體系。如一個實鉸連接兩個剛片的體系及用三根等長且都平行的鏈桿連接兩個剛片的體系都是常變體系。

　　(a) (b) (c)

　　圖1-3

　　(二)幾何組成分析例題

　　[例1-1] 分析圖1-4(a)所示體系的幾何組成。

　　(a) (b)

　　圖1-4

　　[解] 體系的自由度W=3×3-2×2-5=0。根據兩元片規則，將地基延伸至固定鉸A、C處，并將地基作為剛片I，將桿件BEFG作為剛片Ⅱ(圖1-4(b))，剛片I和Ⅱ由支座鏈桿B、等效鏈桿AE、CG相連接，這三根鏈桿不相交于一點，體系是幾何不變的，且無多余約束。

　　[例1-2] 分析圖1-5(a)所示體系的幾何組成。

　　(a) (b)

　　圖1-5

　　[解] 體系的自由度W=3×10—2×12—6=0。將地基并連同桿件ACG、BFJ作為剛片I、桿件DH、EI作為剛片Ⅱ、Ⅲ(圖1-5(b))，則剛片I、Ⅱ、Ⅲ由三個虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)兩兩相連，其中虛鉸(ⅡⅢ)由一組平行鏈桿形成，而虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)的連接線平行于形成虛鉸(ⅡⅢ)的兩根平行鏈桿，可視為三虛鉸在同一直線上，體系為瞬變體系。

　　[例1-3] 分析圖1-6(a)所示體系的幾何組成。

　　[解] 體系的自由度W=3×8—2×10-4=0。根據兩元片規則，將地基延伸至固定鉸A處，并將地基作為剛片I，將CEF作為等效剛片Ⅱ，DB桿作為剛片Ⅲ，這三個剛片由三個虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)兩兩相連，如圖1-6(b)所示。因形成無窮遠處的兩個虛鉸(IⅢ)、(ⅡⅢ)的兩組平行鏈桿不相互平行，故體系是無多余約束的幾何不變體。

　　(a) (b)

　　圖1-6

　　[例1-4] 分析圖1-7(a)所示體系的幾何組成。

　　(a) (b)

　　圖1-7

　　[解] 體系的自由度W=3×9—2×12—3=0。根據一元片規則，去除圖1-7(a)所示體系的一元片，得圖1-7(b)所示體系。再將桿件AB、CE、DF分別作為剛片I、Ⅱ、ⅡⅢ，這三個剛片由三組平行鏈桿形成的三個無窮遠處的虛鉸(IⅡ)、(IⅢ)、(ⅡⅢ)兩兩相連，根據三剛片連接規則，體系為無多余約束的幾何可變體系(無窮遠處的三個點在一廣義直線上)。

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