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九年級上冊數學期末試卷（附答案解析）2017
九年級數學上冊期末試卷(含答案)
一.選擇題(共12小題，每小題4分，滿分48分)
1.若x：y=6：5，則下列等式中不正確的是( )
A. B. C. D.
2.二次函數y=x2﹣2x﹣2與坐標軸的交點個數是( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
3.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，DE：CE=2：3，連結AE，BD交于點F，則S△DEF：S△ADF：S△ABF等于( )
A.2：3：5 B.4：9：25 C.4：10：25 D.2：5：25
4.從標有1，2，3，4的四張卡片中任取兩張，卡片上的數字之和為奇數的概率是( )
A. B. C. D.
5.如圖，一根5m長的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A(羊只能在草地上活動)，那么小羊A在草地上的最大活動區域面積是( )
A. πm2 B. πm2 C. πm2 D. πm2
6.二次函數y=ax2﹣2x﹣3(a<0)的圖象一定不經過( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.
7.在下列命題中，正確的是( )
A.三點確定一個圓
B.圓的內接等邊三角形只有一個
C.一個三角形有且只有一個外接圓
D.一個四邊形一定有外接圓
8.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，下列結論：
(1)c<0;
(2)b>0;
(3)4a+2b+c>0;
(4)(a+c)2
其中不正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
9.某塊面積為4000m2的多邊形草坪，在嘉興市政建設規劃設計圖紙上的面積為250cm2，這塊草坪某條邊的長度是40m，則它在設計圖紙上的長度是( )
A.4cm B.5cm C.10cm D.40cm
10.拋物線y=﹣(x﹣2)2+1經過平移后與拋物線y=﹣(x+1)2﹣2重合，那么平移的方法可以是( )
A.向左平移3個單位再向下平移3個單位
B.向左平移3個單位再向上平移3個單位
C.向右平移3個單位再向下平移3個單位
D.向右平移3個單位再向上平移3個單位
11.如圖，將∠AOB放置在5×5的正方形網格中，則tan∠AOB的值是( )
A. B. C. D.
12.如圖，等腰Rt△ABC(∠ACB=90°)的直角邊與正方形DEFG的邊長均為2，且AC與DE在同一直線上，開始時點C與點D重合，讓△ABC沿這條直線向右平移，直到點A與點E重合為止.設CD的長為x，△ABC與正方形DEFG重合部分(圖中陰影部分)的面積為y，則y與x之間的函數關系的圖象大致是( )
A. B. C. D.
二.填空題(共6小題，每小題4分，滿分24分)
13.已知弦AB把圓周分成1：5的兩部分，則弦AB所對的圓心角的度數為__________.
14.如圖，將弧AC沿弦AC折疊交直徑AB于圓心O，則弧AC=__________度.
15.如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點A.B.C.D分別是“果圓”與坐標軸的交點，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，AB為半圓的直徑，則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為__________.
16.如圖，在直角三角形ABC中(∠C=90°)，放置邊長分別3，4，x的三個正方形，則x的值為__________.
17.如圖，A.D.E是⊙O上的三個點，且∠AOD=120°，B.C是弦AD上兩點，BC= ，△BCE是等邊三角形.若設AB=x，CD=y，則y與x的函數關系式是__________.
18.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，點D是AB的中點，連結CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD.CA于點E，F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結DF.給出以下四個結論：① ;②FG= FB;③AF= ;④S△ABC=5S△BDF，其中正確結論的序號是__________.
三.解答題(共8小題，滿分78分)
19.計算：( +1)( )﹣(﹣2014)0+2 sin45°.
20.如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°.
(1)求證：△ABD∽△DCE;
(2)若BD=3，CE=2，求△ABC的邊長.
21.如圖，AB和CD是同一地面上的兩座相距39米的樓房，在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°，樓底D的俯角為30°.求樓CD的高(結果保留根號).
22.如圖所示的轉盤，分成三個相同的扇形，指針位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置，并相應得到一個數(指針指向兩個扇形的交線時，視為無效，重新轉動一次轉盤)，此過程稱為一次操作.請用樹狀圖或列表法，求事件“兩次操作，第一次操作得到的數與第二次操作得到的數的絕對值相等”發生的概率.
23.在學習圓與正多邊形時，馬露.高靜兩位同學設計了一個畫圓內接正三角形的方法：
(1)如圖，作直徑AD;
(2)作半徑OD的垂直平分線，交⊙O于B，C兩點;
(3)聯結AB.AC.BC，那么△ABC為所求的三角形.
請你判斷兩位同學的作法是否正確，如果正確，請你按照兩位同學設計的畫法，畫出△ABC，然后給出△ABC是等邊三角形的證明過程;如果不正確，請說明理由.
24.如圖1，在四邊形ABCD的AB邊上任取一點E(點E不與點A.點B重合，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成3個三角形.如果其中有2個三角形相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點;如果這3個三角形都相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強相似點.
(1)若圖1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點.
(2)①如圖2，畫出矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點.(要求：畫圖工具不限，不寫畫法，保留畫圖痕跡或有必要的說明)
�、趯τ谌我獾囊粋�矩形，是否一定存在強相似點?如果一定存在，請說明理由;如果不一定存在，請舉出反例.
(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD
25.某蔬菜經銷商到蔬菜種植基地采購一種蔬菜，經銷商一次性采購蔬菜的采購單價y(元/千克)與采購量x(千克)之間的函數關系圖象如圖中折線AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示(不包括端點A).
(1)當100
(2)蔬菜的種植成本為2元/千克，某經銷商一次性采購蔬菜的采購量不超過200千克，當采購量是多少時，蔬菜種植基地獲利最大，最大利潤是多少元?
(3)在(2)的條件下，求經銷商一次性采購的蔬菜是多少千克時，蔬菜種植基地能獲得418元的利潤?
26.在平面直角坐標系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A(﹣1，0).
(1)請直接寫出點B.C的坐標：B__________.C__________; 并求經過A.B.C三點的拋物線解析式;
(2)現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF(其中∠EDF=90°，∠DEF=60°)，把頂點E放在線段AB上(點E是不與A.B兩點重合的動點)，并使ED所在直線經過點C.此時，EF所在直線與(1)中的拋物線交于點M.
①設AE=x，當x為何值時，△OCE∽△OBC;
�、谠冖俚臈l件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形?若存在，請寫出點P的坐標;若不存在，請說明理由.
參考答案和解析
一.選擇題(共12小題，每小題4分，滿分48分)
1.若x：y=6：5，則下列等式中不正確的是( )
A. B. C. D.
考點：比例的性質.
分析：根據比例設x=6k，y=5k，然后分別代入對各選項進行計算即可判斷.
解答： 解：∵x：y=6：5，
∴設x=6k，y=5k，
A. = = ，故本選項錯誤;
B. = = ，故本選項錯誤;
C. = =6，故本選項錯誤;
D. = =﹣5，故本選項正確.
故選D.
點評：本題考查了比例的性質，利用“設k”法表示出x.y可以使計算更加簡便.
2.二次函數y =x2﹣2x﹣2與坐標軸的交點個數是( )
A.0個 B.1個 C.2個 D.3個
考點：拋物線與x軸的交點.
分析：先計算根的判別式的值，然后根據b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數進行判斷.
解答： 解：∵△=(﹣2)2﹣4×1×(﹣2)=12>0，
∴二次函數y=x2﹣2x﹣2與x軸有2個交點，與y軸有一個交點.
∴二次函數y=x2﹣2x﹣2與坐標軸的交點個數是3個.
故選D.
點評：本題考查了拋物線與x軸的交點：求二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)與x軸的交點坐標，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關于x的一元二次方程即可求得交點橫坐標.二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c是常數，a≠0)的交點與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關系：△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點個數;△=b2﹣4ac>0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac<0時，拋物線與x軸沒有交點.
3.如圖，在平行四邊形ABCD中，E為CD上一點，DE：CE=2：3，連結AE，BD交于點F，則S△DEF：S△ADF：S△ABF等于( )
A.2：3：5 B.4：9：25 C.4：10：25 D.2：5：25
考點：相似三角形的判定與性質;平行四邊形的性質.
分析：根據平行四邊形性質得出DC=AB，DC∥AB，求出DE：AB=2：5，推出△DEF∽△BAF，求出 =( )2= ， = = ，根據等高的三角形的面積之比等于對應邊之比求出 = = = ，即可得出答案.
解答： 解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴DC=AB，DC∥AB，
∵DE：CE=2：3，
∴DE：AB=2：5，
∵DC∥AB，
∴△DEF∽△BAF，
∴ =( )2= ， = = ，
∴ = = = (等高的三角形的面積之比等于對應邊之比)，
∴S△DEF：S△ADF：S△ABF等于4：10：25，
故選C.
點評：本題考查了平行四邊形的性質和相似三角形的判定和性質的應用，注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方.
4.從標有1，2，3，4的四張卡片中任取兩張，卡片上的數字之和為奇數的概率是( )
A. B. C. D.
考點：列表法與樹狀圖法.
分析：列舉出所有情況，看卡片上的數字之和為奇數的情況數占總情況數的多少即可.
解答： 解：
1 2 3 4
1 3 4 5
2 3 5 6
3 4 5 7
4 5 6 7
由列表可知：共有3×4=12種可能，卡片上的數字之和為奇數的有8種.
所以卡片上的數字之和為奇數的概率是 .
故選C.
點評：本題考查求隨機事件概率的方法.注意：任意取兩張，相當于取出不放回.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
5.如圖，一根5m長的繩子，一端拴在互相垂直的圍墻墻角的柱子上，另一端拴著一只小羊A(羊只能在草地上活動)，那么小羊A在草地上的最大活動區域面積是( )
A. πm2 B. πm2 C. πm2 D. πm2
考點：扇形面積的計算.
專題：壓軸題.
分析：小羊A在草地上的最大活動區域是一個扇形+一個小扇形的面積.
解答： 解：大扇形的圓心角是90度，半徑是5，
所以面積= = m2;
小扇形的圓心角是180°﹣120°=60°，半徑是1m，
則面積= = (m2)，
則小羊A在草地上的最大活動區域面積= + = (m2).
故選D.
點評：本題的關鍵是從圖中找到小羊的活動區域是由哪幾個圖形組成的，然后分別計算即可.
6.二次函數y=ax2﹣2x﹣3(a<0)的圖象一定不經過( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限.
考點：二次函數的性質.
分析：先根據題意判斷出二次函數的對稱軸方程，再令x=0求出y的值，進而可得出結論.
解答： 解：∵二次函數y=ax2﹣2x﹣3(a<0)的對稱軸為直線x=﹣ =﹣ = <0，
∴其頂點坐標在第二或三象限，
∵當x=0時，y=﹣3，
∴拋物線一定經過第四象限，
∴此函數的圖象一定不經過第一象限.
故選A.
點評：本題考查的是二次函數的性質，熟知二次函數的對稱軸方程是解答此題的關鍵.
7.在下列命題中，正確的是( )
A.三點確定一個圓
B.圓的內接等邊三角形只有一個
C.一個三角形有且只有一個外接圓
D.一個四邊形一定有外接圓
考點：命題與定理.
分析：利用確定圓的條件.圓內接三角形的定義.外接圓的定義分別判斷后即可確定正確的選項.
解答： 解：A.不在同一直線上的三點確定一個圓，故錯誤;
B.圓內接等邊三角形有無數個，故錯誤;
C.一個三角形有且只有一個外接圓，正確;
D.并不是所有的四邊形一定有外接圓，故錯誤，
故選C.
點評：本題考查了命題與定理的知識，解題的關鍵是了解確定圓的條件.圓內接三角形的定義.外接圓的定義等知識，難度不大.
8.二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的圖象如圖，下列結論：
(1)c<0;
(2)b>0;
(3)4a+2b+c>0;
(4)(a+c)2
其中不正確的有( )
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
考點：二次函數圖象與系數的關系.
分析：由拋物線的開口方向判斷a的符號，由拋物線與y軸的交點得出c的值，然后根據圖象經過的點的情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.
解答： 解：拋物線的開口向上，則a>0;
對稱軸為x=﹣ =1，即b=﹣2a，故b<0，故(2)錯誤;
拋物線交y軸于負半軸，則c<0，故(1)正確;
把x=2代入y=ax2+bx+c得：y=4a+2b+c<0，故(3)錯誤;
把x=1代入y=ax2+bx+c得：y=a+b+c<0，把x=﹣1代入y=ax2+bx+c得：y=a﹣b+c<0，
則(a+b+c)(a﹣b+c)>0，故(4)錯誤;
不正確的是(2)(3)(4);
故選C.
點評：本題考查二次函數圖象與二次函數系數之間的關系，二次函數與方程之間的轉換，根的判別式的熟練運用.會利用特殊值代入法求得特殊的式子，如：y=a+b+c，y=4a+2b+c，然后根據圖象判斷其值.
9.某塊面積為4000m2的多邊形草坪，在嘉興市政建設規劃設計圖紙上的面積為250cm2，這塊草坪某條邊的長度是40m，則它在設計圖紙上的長度是( )
A.4cm B.5cm C.10cm D.40cm
考點：相似多邊形的性質.
分析：首先設這塊草坪在設計圖紙上的長度是xcm，根據題意可得這兩個圖形相似，根據相似圖形的面積比等于相似比的平方，可列方程 =( )2，解此方程即可求得答案，注意統一單位.
解答： 解：設這塊草坪在設計圖紙上的長度是xcm，4000m2=40000000m2，40m=4000cm，
根據題意得： =( )2，
解得：x=10，
即這塊草坪在設計圖紙上的長度是10cm.
故選C.
點評：此題考查了相似圖形的性質.此題難度不大，注意相似圖形的面積比等于相似比的平方的應用與方程思想的應用.
10.拋物線y=﹣(x﹣2)2+1經過平移后與拋物線y=﹣(x+1)2﹣2重合，那么平移的方法可以是( )
A.向左平移3個單位再向下平移3個單位
B.向左平移3個單位再向上平移3個單位
C.向右平移3個單位再向下平移3個單位
D.向右平移3個單位再向上平移3個單位
考點：二次函數圖象與幾何變換.
分析：根據平移前后的拋物線的頂點坐標確定平移方法即可得解.
解答： 解：∵拋物線y=﹣(x﹣2)2+1的頂點坐標為(2，1)，拋物線y=﹣(x+1)2﹣2的頂點坐標為(﹣1，﹣2)，
∴頂點由(2，1)到(﹣1，﹣2)需要向左平移3個單位再向下平移3個單位.
故選A.
點評：本題考查了二次函數圖象與幾何變換，此類題目，利用頂點的變化確定拋物線解析式更簡便.
11.如圖，將∠AOB放置在5×5的正方形網格中，則tan∠AOB的值是( )
A. B. C. D.
考點：銳角三角函數的定義.
專題：網格型.
分析：認真讀圖，在以∠AOB的O為頂點的直角三角形里求tan∠AOB的值.
解答： 解：由圖可得tan∠AOB= .
故選B.
點評：本題考查了銳角三角函數的概念：在直角三角形中，正 切等于對邊比鄰邊.
12.如圖，等腰Rt△ABC(∠ACB=90°)的直角邊與正方形DEFG的邊長均為2，且AC與DE在同一直線上，開始時點C與點D重合，讓△ABC沿這條直線向右平移，直到點A與點E重合為止.設CD的長為x，△ABC與正方形DEFG重合部分(圖中陰影部分)的面積為y，則y與x之間的函數關系的圖象大致是( )
A. B. C. D.
考點：動點問題的函數圖象.
專題：幾何圖形問題;壓軸題.
分析：此題可分為兩段求解，即C從D點運動到E點和A從D點運動到E點，列出面積隨動點變化的函數關系式即可.
解答： 解：設CD的長為x，△ABC與正方形DEFG重合部分(圖中陰影部分)的面積為y∴
當C從D點運動到E點時，即0≤x≤2時，y= = .
當A從D點運動到E點時，即2
∴y與x之間的函數關系
由函數關系式可看出A中的函數圖象與所求的分段函數對應.
故選：A.
點評：本題考查的動點變化過程中面積的變化關系，重點是列出函數關系式，但需注意自變量的取值范圍.
二.填空題(共6小題，每小題4分，滿分24分)
13.已知弦AB把圓周分成1：5的兩部分，則弦AB所對的圓心角的度數為60°.
考點：圓心角.弧.弦的關系.
專題：計算題.
分析：由于弦AB把圓周分成1：5的兩部分，根據圓心角.弧.弦的關系得到弦AB所對的圓心角為周角的 .
解答： 解：∵弦AB把圓周分成1：5的兩部分，
∴弦AB所對的圓心角的度數= ×360°=60°.
故答案為60°.
點評：本題考查了圓心角.弧.弦的關系：在同圓或等圓中，如果兩個圓心角.兩條弧.兩條弦中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.
14.如圖，將弧AC沿弦AC折疊交直徑AB于圓心O，則弧AC=120度.
考點：翻折變換(折疊問題);等邊三角形的判定與性質;圓心角.弧.弦的關系.
分析：過O點作OD⊥AC交AC于D，交弧AC于E，連結OC，BC.根據垂徑定理可得OD= OE，AD=CD，根據三角形中位線定理可得OD= BC，再根據等邊三角形的判定和性質，以及鄰補角的定義即可求解.
解答： 解：過O點作OD⊥AC交 AC于D，交弧AC于E，連結OC，BC.
∴OD= OE，AD=CD，
∵AB是直徑，
∴∠ACB=90°，OD= BC，
又∵OC=OB，
∴△OBC是等邊三角形，
∴∠BOC=60°，
∴∠AOC=180°﹣60°=120°，即弧AC=120度.
故答案為：120.
點評：考查了翻折變換(折疊問題)，垂徑定理，三角形中位線定理，等邊三角形的判定和性質，以及鄰補角的定義，綜合性較強，難度中等.
15.如圖，我們把一個半圓與拋物線的一部分圍成的封閉圖形稱為“果圓”.已知點A.B.C.D分別是“果圓”與坐標軸的交點，拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，AB為半 圓的直徑，則這個“果圓”被y軸截得的弦CD的長為3+ .
考點：二次函數綜合題.
分析：連接AC，BC，有拋物線的解析式可求出A，B，C的坐標，進而求出AO，BO，DO的長，在直角三角形ACB中，利用射影定理可求出CO的長，進而可求出CD的長.
解答： 解：連接AC，BC，
∵拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3，
∴點D的坐標為(0，﹣3)，
∴OD的長為3，
設y=0，則0=x2﹣2x﹣3，
解得：x=﹣1或3，
∴A(﹣1，0)，B(3，0)
∴AO=1，BO=3，
∵AB為半圓的直徑，
∴∠ACB=90°，
∵CO⊥AB，
∴CO2=AO•BO=3，
∴CO= ，
∴CD=CO+OD=3+ ，
故答案為：3+ .
點評：本題是二次函數綜合題型，主要考查了拋物線與坐標軸的交點問題.解一元二次方程.圓周角定理.射影定理，讀懂題目信息，理解“果圓”的定義是解題的關鍵.
16.如圖，在直角三角形ABC中(∠C=90°)，放置邊長分別3，4 ，x的三個正方形，則x的值為7.
考點：相似三角形的判定與性質;正方形的性質.
分析：根據已知條件可以推出△CEF∽△OME ∽△PFN然后把它們的直角邊用含x的表達式表示出來，利用對應邊的比相等，即可推出x的值答題
解答： 解：如圖∵在Rt△ABC中∠C=90°，放置邊長分別3，4，x的三個正方形，
∴△CEF∽△OME∽△PFN，
∴OE：PN=OM：PF，
∵EF=x，MO=3，PN=4，
∴OE=x﹣3，PF=x﹣4，
∴(x﹣3)：4=3：(x﹣4)，
∴(x﹣3)(x﹣4)=12，
∴x1=0(不符合題意，舍去)，x2=7.
故答案為：7.
點評：本題主要考查相似三角形的判定和性質.正方形的性質，解題的關鍵在于找到相似三角形，用x的表達式表示出對應邊.
17.如圖，A.D.E是⊙O上的三個點，且∠AOD=120°，B.C是弦AD上兩點，BC= ，△BCE是等邊三角形.若設AB=x，CD=y，則y與x的函數關系式是y= .
考點：相似三角形的判定與性質;等邊三角形的性質;圓周角定理.
專題：計算題.
分析：由圓周角定理得出∠AED=120°，得出∠EAD+∠EDC=60°，由等邊三角形的性質得出∠BEC=∠EBC=∠ECB=60°，BE=CE=BC= ，得出∠ABE=∠ECD=120°，證出∠AEB=∠EDC，證明△ABE∽△ECD，得出對應邊成比例，即可得出結果.
解答： 解：連接AE.DE，如圖所示：
∵∠AOD=120°，
∴360°﹣120°=240°，
∴∠AED= ×240°=120°，
∴∠EAD+∠EDC=60°，
∵△BCE是等邊三角形，
∴∠BEC=∠EBC=∠ECB=60°，BE=CE=BC= ，
∴∠ABE=∠ECD=120°，∠EAD+∠AEB=60°，
∴∠AEB=∠EDC，
∴△ABE∽△ECD，
∴ ，
即 ，
∴y= .
故答案為：y= .
點評：本題考查了圓周角定理.等邊三角形的性質.相似三角形的判定與性質;熟練掌握圓周角定理和等邊三角形的性質，并能進行推理論證與計算是解決問題的關鍵.
18.如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC，點D是AB的中點，連結CD，過點B作BG⊥CD，分別交CD.CA于點E，F，與過點A且垂直于AB的直線相交于點G，連結DF.給出以下四個結論：① ;②FG= FB;③AF= ;④S△ABC=5S△BDF，其中正確結論的序號是①②③.
考點：相似三角形的判定與性質;等腰直角三角形.
分析：根據同角的余角相等求出∠ABG=∠BCD，然后利用“角邊角”證明△ABC和△BCD全等，根據全等三角形對應邊相等可得AG=BD，然后求出AG= BC，再求出△AFG和△CFB相似，根據相似三角形對應邊成比例可得 = ，從而判斷出①正確;由AG= BC，所以FG= FB，故②正確;根據相似三角形對應邊成比例求出 = ，再根據等腰直角三角形的性質可得AC= AB，然后整理即可得到AF= AB，判斷出③正確;過點F作MF⊥AB于M，根據三角形 的面積整理即可判斷出④錯誤.
解答： 解：∵∠ABC=90°，BG⊥CD，
∴∠ABG+∠CBG=90°，∠BCD+∠CBG=90°，
∴∠ABG=∠BCD，
在△ABC和△BCD中，
，
∴△ABG≌△BCD(ASA)，
∴AG=BD，
∵點D是AB的中點，
∴BD= AB，
∴AG= BC，
在Rt△ABC中，∠ABC=90°，
∴AB⊥BC，
∵AG⊥AB，
∴AG∥BC，
∴△AFG∽△CFB，
∴ ，
∵BA=BC，
∴ ，
故①正確;
∵△AFG∽△CFB，
∴ ，
∴FG= FB，
故②正確;
∵△AFG∽△CFB，
∴ ，
∴AF= AC，
∵AC= AB，
∴AF= AB，故③正確;
過點F作MF⊥AB于M，則FM∥CB，
∴ ，
∵ ，
∴ = = = = ，故④錯誤.
故答案為：①②③.
點評：本題考查了相似三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，等腰直角三角形的性質，熟練掌握相似三角形的判定方法和相似三角形對應邊成比例的性質是解題的關鍵.
三.解答題(共8小題，滿分78分)
19.計算：( +1)( )﹣(﹣2014)0+2 sin45°.
考點：二次根式的混合運算;零指數冪;特殊角的三角函數值.
分析：分別進行二次根式的乘法.零指數冪.特殊角的三角函數值等運算，然后合并.
解答： 解：原式=6﹣1﹣1+2=6.
點評：本題考查了二次根式的混合運算，涉及了二次根式的乘法.零指數冪.特殊角的三角函數值等知識，屬于基礎題.
20.如圖，在等邊△ABC中，D為BC邊上一點，E為AC邊上一點，且∠ADE=60°.
(1)求證：△ABD∽△DCE;
(2)若BD=3，CE=2，求△ABC的邊長.
考點：相似三角形的判定與性質;等邊三角形的性質.
分析：(1)由∠ADE=60°，可證得△ABD∽△DCE;
(2)可用等邊三角形的邊長表示出DC的長，進而根據相似三角形的對應邊成比例，求得△ABC的邊長.
解答： (1)證明：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∴∠BAD+∠ADB=120°
∵∠ADE=60°，
∴∠ADB+∠EDC=120°，
∴∠DAB=∠EDC，
又∵∠B=∠C=60°，
∴△ABD∽△DCE;
(2)解：∵△ABD∽△DCE，
∴ ，
∵BD=3，CE=2，
∴ ;
解得AB=9.
點評：此題主要考查了等邊三角形的性質和相似三角形的判定和性質，能夠證得△ABD∽△DCE是解答此題的關鍵.
21.如圖，AB和CD是同一地面上的兩座相距39米的樓房，在樓AB的樓頂A點測得樓CD的樓頂C的仰角為45°，樓底D的俯角為30°.求樓CD的高(結果保留根號).
考點：解直角三角形的應用-仰角俯角問題.
分析：在題中兩個直角三角形中，知道已知角和其鄰邊，只需根據正切值求出對邊后相加即可.
解答： 解：延長過點A的水平線交CD于點E，則有AE⊥CD，四邊形ABDE是矩形，AE=BD=39米.
∵∠CAE=45°，
∴△AEC是等腰直角三角形，
∴CE=AE=39米.
在Rt△AED中，tan∠EAD= ，
∴ED=39×tan30°=13 米，
∴CD=CE+ED=(39+13 )米.
答：樓CD的高是(39+13 )米.
點評：本題考查的是解直角三角形的應用﹣仰角俯角問題，涉及到特殊角的三角函數值及等腰三角形的判定，熟知以上知識是解答此題的關鍵.
22.如圖所示的轉盤，分成三個相同的扇形，指針位置固定，轉動轉盤后任其自由停止，其中的某個扇形會恰好停在指針所指的位置，并相應得到一個數(指針指向兩個扇形的交線時，視為無效，重新轉動一次轉盤)，此過程稱為一次操作.請用樹狀圖或列表法，求事件“兩次操作，第一次操作得到的數與第二次操作得到的數的絕對值相等”發生的概率.
考點：列表法與樹狀圖法.
分析：根據題意，用列表法列舉出所有情況，看所求的情況與總情況的比值即可得答案.
解答： 解：畫樹狀圖如下：
所有可能出現的結果共有9種，其中滿足條件的結果有5種.
所以P(所指的兩數的絕對值相等)= .
點評：考查了列表法與樹狀圖法求概率的知識，樹狀圖法適用于兩步或兩部以上完成的事件.用到的知識點為：概率=所求情況數與總情況數之比.
23.在學習圓與正多邊形時，馬露.高靜兩位同學設計了一個畫圓內接正三角形的方法：
(1)如圖，作直徑AD;
(2)作半徑OD的垂直平分線，交⊙O于B，C兩點;
(3)聯結AB.AC.BC，那么△ ABC為所求的三角形.
請你判斷兩位同學的作法是否正確，如果正確，請你按照兩位同學設計的畫法，畫出△ABC，然后給出△ABC是等邊三角形的證明過程;如果不正確，請說明理由.
考點：正多邊形和圓;垂徑定理.
分析：利用銳角三角函數關系得出∠BOE=60°，進而得出∠COE=∠BOE=60°，再利用圓心角定理得出答案.
解答： 解：兩位同學的方法正確.
連BO.CO，
∵BC垂直平分OD，
∴直角△OEB中.cos∠BOE= = ，
∠BOE=60°，由垂徑定理得∠COE=∠BOE=60°，
由于AD為直徑，∴∠AOB=∠AOC=120°，
∴AB=BC=CA，
即△ABC為等邊三角形.
點評：此題主要考查了垂徑定理以及圓心角定理和等邊三角形的判定等知識，得出∠AOB=∠AOC=120°是解題關鍵.
24.如圖1，在四邊形ABCD的AB邊上任取一點E(點E不與點A.點B重合，分別連接ED，EC，可以把四邊形ABCD分成3個三角形.如果其中有2個三角形相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的相似點;如果這3個三角形都相似，我們就把點E叫做四邊形ABCD的AB邊上的強相似點.
(1)若圖1中，∠A=∠B=∠DEC=50°，證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點.
(2)①如圖2，畫出矩形ABCD的AB邊上的一個強相似點.(要求：畫圖工具不限，不寫畫法，保留畫圖痕跡或有必要的說明)
�、趯τ谌我獾囊粋�矩形，是否一定存在強相似點?如果一定存在，請說明理由;如果不一定存在，請舉出反例.
(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD
考點：相似形綜合題.
分析：(1)要證明點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點，只要證明有一組三角形相似就行，很容易證明△ADE∽△EBC，所以問題得解;
(2)①以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求.②不一定存在強相似點，如正方形;
(3)因為點E是梯形ABCD的AB邊上的一個強相似點，所以就有相似三角形出現，根據相似三角形的對應線段成比例，可以判斷出AE和BE的數量關系，從而可求出解.
解答： 解：(1)理由：∵∠A=50°，
∴∠ADE+∠DEA=130°，
∵∠DEC=50°，
∴∠BEC+∠DEA=130°，
∴∠ADE=∠BEC，
∵∠A=∠B，
∴△ADE∽△BEC，
∴點E是四邊形ABCD的AB邊上的相似點;
(2)①以CD為直徑畫弧，取該弧與AB的一個交點即為所求，
如圖2所示：連接FC，DF，
∵CD為直徑，∴∠DFC=90°，
∵CD∥AB，
∴∠DCF=∠CFB，
∵∠B=90°，
∴△DFC∽△CBF，
同理可得出：△DFC∽△FAD，
�、趯τ谌我獾囊粋�矩形，不一定存在強相似點，如正方形.
(3)第一種情況：∠A=∠B=∠DEC=90°，∠ADE=∠BEC=∠EDC，
即△ADE∽△BEC∽△EDC，
∵點E是梯形ABCD的邊AB上的強相似點，
∴△ADE，△BEC以及△CDE是兩兩相似的，
∵△ADE是直角三角形，
∴△DEC也是直角三角形，
當∠DEC=90°時，
①∠CDE=∠DEA，
∴DC∥AE，
這與四邊形ABCD是梯形相矛盾，不成立;
�、�∠CDE=∠EDA，
∵∠ECD+∠EDC=90°，∠ADE+∠AED=90°，
∴∠AED=∠ECD，
∵∠AED+∠BEC=90°，∠BEC+∠BCE=90°，
∴∠AED=∠BCE，
∴∠AED=∠BCE=∠ECD，
∴DE平分∠ADC，同理可得，CE平分∠DCB，
如圖3，過E作EF⊥DC，
∵AE⊥AD，BE⊥BC，DE平分∠ADC，CE平分∠DCB，
∴AE=FE，BE=FE，
∴AE=BE，
第二種情況：∠A=∠B=∠EDC=90°，∠ADE=∠BCE=∠DCE，
即△ADE∽△BEC∽△DCE.
所以∠AED=∠BEC=∠DEC=60°，
說明AE= DE，BE= CE，DE= CE，
所以AE= BE.
綜上，AE=BE或AE= BE.
點評：本題考查了相似三角形的判定和性質.矩形的性質.梯形的性質以及理解相似點和強相似點的概念，掌握強相似點的概念.正確運用相關的判定定理和性質定理是解題的關鍵，注意分情況討論思想的正確運用.
25.某蔬菜經銷商到蔬菜種植基地采購一種蔬菜，經銷商一次性采 購蔬菜的采購單價y(元/千克)與采購量x(千克)之間的函數關系圖象如圖中折線AB﹣﹣BC﹣﹣CD所示(不包括端點A).
(1)當100
(2)蔬菜的種植成本為2元/千克，某經銷商一次性采購蔬菜的采購量不超過200千克，當采購量是多少時，蔬菜種植基地獲利最大，最大利潤是多少元?
(3)在(2)的條件下，求經銷商一次性采購的蔬菜是多少千克時，蔬菜種植基地能獲得418元的利潤?
考點：二次函數的應用.
分析：(1)利用待定系數法求出當100
(2)根據當0
(3)根據(2)中所求得出，﹣0.02(x﹣150)2+450=418求出即可.
解答： 解;(1)設當100
，
解得：
∴y與x之間的函數關系式為：y=﹣0.02x+8;
故答案為：y=﹣0.02x+8;
(2)當采購量是x千克時，蔬菜種植基地獲利W元，
當0
當x=100時，W有最大值400元，
當100
W=(y﹣2)x
=(﹣0.02x+6)x
=﹣0.02(x﹣150)2+450，
∴當x=150時，W有最大值為450元，
綜上所述，一次性采購量為150千克時，蔬菜種植基地能獲得最大利潤為450元;
(3)∵400<418<450，
∴根據(2)可得，﹣0.02(x﹣150)2+450=418
解得：x1=110，x 2=190，
答：經銷商一次性采購的蔬菜是110千克或190千克時，蔬菜種植基地能獲得418元的利潤.
點評：此題主要考查了二次函數的應用以及待定系數法求一次函數解析式以及一元二次方程的解法等知識，利用數形結合以及分段討論得出是解題關鍵.
26.在平面直角坐標系xOy中，一塊含60°角的三角板作如圖擺放，斜邊AB在x軸上，直角頂點C在y軸正半軸上，已知點A(﹣1，0).
(1)請直接寫出點B.C的坐標：B(3，0).C(0， );并求經過A.B.C三點的拋物線解析式;
(2)現有與上述三角板完全一樣的三角板DEF(其中∠EDF=90°，∠DEF=60°)，把頂點E放在線段AB上(點E是不與A.B兩點重合的動點)，并使ED所在直線經過點C.此時，EF所在直線與(1)中的拋物線交于點M.
�、僭OAE=x，當x為何值時，△OCE∽△OBC;
�、谠冖俚臈l件下探究：拋物線的對稱軸上是否存在點P使△PEM是等腰三角形?若存在，請寫出點P的坐標;若不存在，請說明理由.
考點：二次函數綜合題.
專題：代數幾何綜合題;壓軸題.
分析：(1)利用解直角三角形求出OC的長度，再求出OB的長度，從而可得點B.C的坐標，然后利用待定系數法求二次函數解析式解答;
(2)①根據相似三角形對應邊成比例列式求出OE的長度，再根據點A的坐標求出AO的長度，相加即可得到AE的長度，即x的值;
②根據①確定點E在對稱軸上，然后求出∠FEB=60°，根據同位角相等兩直線平行求出EF∥AC，再求出直線EF的解析式，與拋物線解析式聯立求出點M的坐標，再利用兩點間的距離公式求出EM的長度，再分PE=EM，PE=PM，PM=EM三種情況分別求解.
解答： 解：(1)∵點A(﹣1，0)，
∴OA=1，
由圖可知，∠BAC是三角板的60°角，∠ABC是30°角，
所以，OC=OA•tan60°=1× = ，
OB=OC•cot30°= × =3，
所以，點B(3，0)，C(0， )，
設拋物線解析式為y=ax2+bx+c，
則 ，
解得 ，
所以，拋物線的解析式為y=﹣ x2+ x+ ;
(2)①∵△OCE∽△OBC，
∴ = ，
即 = ，
解得OE=1，
所以，AE=OA+OE=1+1=2，
即x=2時，△OCE∽△OBC;
�、诖嬖�.理由如下：
拋物線的對稱軸為x=﹣ =﹣ =1，
所以，點E為拋物線的對稱軸與x軸的交點，
∵OA=OE，OC⊥x軸，∠BAC=60°，
∴△ACE是等邊三角形，
∴∠AEC=60°，
又∠DEF=60°，
∴∠FEB=60°，
∴∠BAC=∠FEB，
∴EF∥AC，
由A(﹣1，0)，C(0， )可得直線AC的解析式為y= x+ ，
∵點E(1，0)，
∴直線EF的解析式為y= x﹣ ，
聯立 ，
解得 ， ，
∴點M的坐標為(2， )，或(﹣3，﹣4 )(舍去)，
EM= =2，
分三種情況討論△PEM是等腰三角形，
當PE=EM時，PE=2，
所以，點P的坐標為(1，2)或(1，﹣2)，
當PE=PM時，∵∠FEB =60°，
∴∠PEF=90°﹣60°=30°，
PE= EM÷cos30°= ×2÷ = ，
所以，點P的坐標為(1， )，
當PM=EM時，PE=2EM•cos30°=2×2× =2 ，
所以，點P的坐標為(1，2 )，
綜上所述，拋物線對稱軸上存在點P(1，2)或(1，﹣2)或(1， )或(1，2 )，使△PEM是等腰三角形.
點評：本題是對二次函數的綜合考查，主要涉及直角三角形的性質，待定系數法求二次函數解析式，相似三角形對應邊成比例的性質，等腰三角形的性質，(2)②要根據等腰三角形腰的不同進行分情況討論，根據題目圖形，點M在x軸下方的情況可以舍去不予考慮.
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