考研數(shù)學:關(guān)于定積分的三點建議
考研數(shù)學中的高數(shù)部分從本質(zhì)上講只有三種運算：極限，導數(shù)與積分。首先看一下高等數(shù)學的整體框架：
我們可以看到：在學習定積分之前，我們首先學習了不定積分。很多同學把不定積分與定積分搞混淆。其實不定積分是導數(shù)的逆運算，本質(zhì)還是導數(shù)的延伸。而真正的積分部分是定積分。因此，各位考生要注意以下的三點：
一、明晰知識體系
定積分這章非常重要，考試考查的內(nèi)容多而廣。這章包括：定積分的定義，性質(zhì)；微積分基本定理；反常積分；定積分的應用。這四個部分各有側(cè)重點。其中定積分的定義是重點；要理解微積分基本定理；要掌握定積分在幾何和物理上面的應用。至于反常積分大家了解就行了。
二、深刻理解知識點
在掌握了知識體系之后，自然就需要明確具體的重點知識點了。首先是定積分的定義及性質(zhì)。大家需要深刻理解定積分的定義。我覺得同學們不僅要會用自己的話來表述定義，而且要一步一步的寫出精髓。比如說從定義中體現(xiàn)的思想：微元法。同學們要理解分割，近似，求和，取極限這四個步驟。同時要知道其幾何意義及定義中需要注意的方面。對定積分定義的考察在每年考研中是必考內(nèi)容。所以希望引起大家的足夠重視。
至于性質(zhì)，大家關(guān)鍵也在于理解。特別是區(qū)間可加性；比較定理；積分中值定理。對這三個性質(zhì)大家一定要知道是怎么來的。考研中有關(guān)積分的證明題多多少少會用到這三個性質(zhì)。所以大家只有理解了才懂得在什么時候用。
然后是微積分基本定理。這個知識點非常重要。因為它定義了一種新的函數(shù)：積分上限函數(shù)。而且在一定的條件下，它的導數(shù)就是f(x)。所以我們擴展了函數(shù)類型。那么導數(shù)應用中的切線與法線；單調(diào)性；極值；凹凸性等應用就可以與積分上限函數(shù)聯(lián)系了。同時提出了牛頓-萊布尼茨公式，使得我們可以用不定積分來計算定積分。希望同學們要掌握牛頓-萊布尼茨公式的證明過程。
補充說一點：求定積分常用的方法是基本積分公式；換元積分法(湊微分法和換元積分法)；分部積分法。其中換元積分法和分部積分法是重點。大家要理解換元積分法的思想。即我們通過復合函數(shù)求導公式推出了湊微分法;通過三角代換，根式代換等提出了換元積分法。而我們通過相乘函數(shù)的導數(shù)公式推出了分部積分法。所以大家只有知道這些方法是怎么來的才能更好的使用這些方法。接著大家要注意變限積分求導了，最好請大家自己證明下。
第三個要說的是反常積分。對這一部分，同學們了解基本定義，會用定積分判斷是否收斂就夠了。最后，是定積分的應用。其實就是微元法在幾何以及物理上面的'應用。同樣的，同學們要知道數(shù)學一，數(shù)學二，數(shù)學三的區(qū)別。在幾何上，數(shù)學三只用掌握用定積分求面積和簡單幾何體的體積。而數(shù)學一和數(shù)學二還要求掌握用定積分求曲線弧長，旋轉(zhuǎn)曲面面積。在物理應用方面，數(shù)學一和數(shù)學二主要掌握用定積分求變力沿直線做功，抽水做功，液太靜壓力和質(zhì)心問題。但核心是，同學們一定要掌握微元法的思想。
三、適量習題
在大家理解了重點知識以及明確了考試重點后就需要做題鞏固了。在這里，我堅決反對題海戰(zhàn)術(shù)。因為大家的時間有限并且題海戰(zhàn)術(shù)在沒理解知識點之前是沒用的。現(xiàn)在社會做事情都講究高效，我希望大家能夠事半功倍。那么針對定積分這章，大家先針對我說的重點知識進行做題鞏固，關(guān)鍵是每做一個題就要理解，要反思，要多想想考察了知識點那些方面。然后對次重點知識輔助做一些題，了解就夠了。
總之，希望大家經(jīng)過這三個步驟能夠?qū)W習好定積分，為以后的高等數(shù)學的復習打好基礎。祝大家考研成功!
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