數(shù)學學習的抽象性和邏輯性
抽象性是任何一門科學均具有的共性。然而，數(shù)學的抽象和其他自然科學不一樣。在數(shù)學的抽象中，僅僅保留了對象的量的特征，而完全舍棄了它們的質(zhì)的內(nèi)容。而且其抽象程序遠遠超過了自然科學中的一般抽象。例如對于自然數(shù)的認識：1，2，3，…，101，102，103，…，1001，1002，1003，…無限制地繼續(xù)下去時，相應的數(shù)距我們越來越遠。很遠很遠的大數(shù)是決不可能由真實事物中直接抽象出來的，而只能依靠人的想象。這種想象的數(shù)，實際上是人的思維的產(chǎn)物，把它看成是一種“理想元素”。類似地直線的無限性，極限，有理數(shù)的稠密性，實數(shù)的連續(xù)性等概念，也都是理性思維的結(jié)果，不可能直接為人們所感知。然而，實踐是檢驗真理的'標準，隨著科學的發(fā)展和人們認識的深入，到了19世紀，高斯給出了復數(shù)（虛數(shù)）的幾何表示，幫助人們直觀地理解了它的真實意義，隨后又在流體力學中得到了應用。在數(shù)學和其他科學中復數(shù)日益起著不可估量的作用，在19世紀中葉以后遂發(fā)展成一個龐大的數(shù)學分支——復變函數(shù)論。由此可見，理想元素對數(shù)學及科學實踐所起的積極作用。一般說來，隨著數(shù)學的發(fā)展，理想元素在數(shù)學中占據(jù)著越來越重要的位置。正如數(shù)學史家M.克萊因所指出：1700年以后，越來越多的、更遠離自然界的、從人的腦子中源源不斷地涌出的概念，進入了數(shù)學。它們逐漸取代了那些“直接觀念性”的概念，并在數(shù)學中占據(jù)了主導的地位。列寧曾指出：幻想是極其可貴的品質(zhì)，有人認為，只有詩人才需要幻想，這是沒有理由的，這是愚蠢的偏見！甚至在數(shù)學上也需要幻想的，甚至沒有它就不可能發(fā)明微積分。由于數(shù)學研究對象的抽象性，就決定了數(shù)學學習的抽象思維特征，這種抽象性，當尚未熟悉它的思維方法時，似乎感到很難把思維特征也是可以辦到的。
只要我們通過初等數(shù)學、高等數(shù)學課程的認真學習，仔細體會它的概念和論證方法的抽象特征，自覺學習、運用這種思維方法來思考和分析問題，經(jīng)過一段時間的訓練，便可逐步培養(yǎng)起這種抽象思維能力。借助于邏輯學的幫助而建立起來的數(shù)學體系，具有一個突出的特點，就是它在邏輯上的嚴密性。無論是在高等數(shù)學還是初等數(shù)學中，嚴密性都是至關重要的。雖然嚴密性是相對而言的，它隨著科學及數(shù)學的發(fā)展在變化著。過去被大數(shù)學家認為是嚴密的證明，今天卻因其不完善而被拋棄的情形也屢見不鮮。然而，嚴密性的要求畢竟在始終不斷推進著數(shù)學研究的向前發(fā)展，它使數(shù)學（特別是在數(shù)學基礎方面）在實質(zhì)上和面貌上發(fā)生了很大的變化。基于這種意義，可以認為，現(xiàn)今以一組不證明的命題、一組不定義的術語為基礎的公理數(shù)學，才是最嚴格最廣泛最抽象的科學體系。今天，我們在大學或中學中學習數(shù)學，雖然沒有必要過分強調(diào)演繹論證的訓練，但必要的邏輯推理訓練是不可少的，因為它是創(chuàng)造性數(shù)學思維中不可少的工具。
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