線性代數知識點總結
線性代數知識在學習的幾個階段都有相關的知識點出現，下面線性代數知識點總結是小編為大家整理的，在這里跟大家分享一下。
線性代數知識點總結1
線性代數在考研數學中占有重要地位，必須予以高度重視。線性代數試題的特點比較突出，以計算題為主，證明題為輔，因此，太奇考研專家們提醒廣大的2013年的考生們必須注重計算能力。線性代數在數學一、二、三中均占22%，所以考生要想取得高分，學好線代也是必要的。下面，就將線代中重點內容和典型題型做了總結，希望對2012年考研的同學們學習有幫助。
行列式在整張試卷中所占比例不是很大，一般以填空題、選擇題為主，它是必考內容，不只是考察行列式的概念、性質、運算，與行列式有關的考題也不少，例如方陣的行列式、逆矩陣、向量組的線性相關性、矩陣的秩、線性方程組、特征值、正定二次型與正定矩陣等問題中都會涉及到行列式。如果試卷中沒有獨立的行列式的試題，必然會在其他章、節的試題中得以體現。行列式的重點內容是掌握計算行列式的方法，計算行列式的主要方法是降階法，用按行、按列展開公式將行列式降階。但在展開之前往往先用行列式的性質對行列式進行恒等變形，化簡之后再展開。另外，一些特殊的行列式（行和或列和相等的行列式、三對角行列式、爪型行列式等等）的計算方法也應掌握。常見題型有：數字型行列式的計算、抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算。關于每個重要題型的具體方法以及例題見《20xx年全國碩士研究生入學統一考試數學120種常考題型精解》。
矩陣是線性代數的核心，是后續各章的基礎。矩陣的概念、運算及理論貫穿線性代數的始終。這部分考點較多，重點考點有逆矩陣、伴隨矩陣及矩陣方程。涉及伴隨矩陣的定義、性質、行列式、逆矩陣、秩及包含伴隨矩陣的矩陣方程是矩陣試題中的一類常見試題。這幾年還經常出現有關初等變換與初等矩陣的命題。常見題型有以下幾種：計算方陣的冪、與伴隨矩陣相關聯的命題、有關初等變換的命題、有關逆矩陣的計算與證明、解矩陣方程。
向量組的線性相關性是線性代數的重點，也是考研的重點。考生一定要吃透向量組線性相關性的概念，熟練掌握有關性質及判定法并能靈活應用，還應與線性表出、向量組的秩及線性方程組等相聯系，從各個側面加強對線性相關性的理解。常見題型有：判定向量組的線性相關性、向量組線性相關性的證明、判定一個向量能否由一向量組線性表出、向量組的秩和極大無關組的求法、有關秩的證明、有關矩陣與向量組等價的命題、與向量空間有關的命題。
往年考題中，方程組出現的頻率較高，幾乎每年都有考題，也是線性代數部分考查的重點內容。本章的重點內容有：齊次線性方程組有非零解和非齊次線性方程組有解的判定及解的結構、齊次線性方程組基礎解系的求解與證明、齊次（非齊次）線性方程組的求解（含對參數取值的討論）。主要題型有：線性方程組的求解、方程組解向量的判別及解的性質、齊次線性方程組的基礎解系、非齊次線性方程組的通解結構、兩個方程組的公共解、同解問題。
特征值、特征向量是線性代數的重點內容，是考研的重點之一，題多分值大，共有三部分重點內容：特征值和特征向量的概念及計算、方陣的相似對角化、實對稱矩陣的正交相似對角化。重點題型有：數值矩陣的特征值和特征向量的求法、抽象矩陣特征值和特征向量的求法、判定矩陣的相似對角化、由特征值或特征向量反求A、有關實對稱矩陣的問題。
由于二次型與它的實對稱矩陣式一一對應的，所以二次型的很多問題都可以轉化為它的實對稱矩陣的問題，可見正確寫出二次型的矩陣式處理二次型問題的一個基礎。重點內容包括：掌握二次型及其矩陣表示，了解二次型的秩和標準形等概念；了解二次型的規范形和慣性定理；掌握用正交變換并會用配方法化二次型為標準形；理解正定二次型和正定矩陣的概念及其判別方法。重點題型有：二次型表成矩陣形式、化二次型為標準形、二次型正定性的判別。
一、行列式與矩陣
行列式、矩陣是線性代數中的基礎章節，從命題人的角度來看，可以像潤滑油一般結合其它章節出題，因此必須熟練掌握。
行列式的核心內容是求行列式——具體行列式的計算和抽象行列式的計算。其中具體行列式的計算又有低階和高階兩種類型，主要方法是應用行列式的性質及按行（列）展開定理化為上下三角行列式求解；而對于抽象行列式而言，考點不在如何求行列式，而在于結合后面章節內容的相對綜合的題。
矩陣部分出題很靈活，頻繁出現的知識點包括矩陣各種運算律、矩陣的基本性質、矩陣可逆的判定及求逆、矩陣的秩、初等矩陣等。
二、向量與線性方程組
向量與線性方程組是整個線性代數部分的核心內容。相比之下，行列式和矩陣可視作是為了討論向量和線性方程組部分的問題而做鋪墊的基礎性章節，而其后兩章特征值和特征向量、二次型的內容則相對獨立，可以看作是對核心內容的擴展。
向量與線性方程組的內容聯系很密切，很多知識點相互之間都有或明或暗的相關性。復習這兩部分內容最有效的方法就是徹底理順諸多知識點之間的內在聯系，因為這樣做首先能夠保證做到真正意義上的理解，同時也是熟練掌握和靈活運用的前提。
這部分的重要考點一是線性方程組所具有的兩種形式——矩陣形式和向量形式；二是線性方程組與向量以及其它章節的各種內在聯系。
（1）齊次線性方程組與向量線性相關、無關的聯系
齊次線性方程組可以直接看出一定有解，因為當變量都為零時等式一定成立——印證了向量部分的一條性質“零向量可由任何向量線性表示”。
齊次線性方程組一定有解又可以分為兩種情況：①有唯一零解；②有非零解。當齊次線性方程組有唯一零解時，是指等式中的變量只能全為零才能使等式成立，而當齊次線性方程組有非零解時，存在不全為零的變量使上式成立；但向量部分中判斷向量組是否線性相關、無關的定義也正是由這個等式出發的。故向量與線性方程組在此又產生了聯系——齊次線性方程組是否有非零解對應于系數矩陣的列向量組是否線性相關。可以設想線性相關、無關的概念就是為了更好地討論線性方程組問題而提出的。
（2）齊次線性方程組的解與秩和極大無關組的聯系
同樣可以認為秩是為了更好地討論線性相關和線性無關而引入的。秩的定義是“極大線性無關組中的向量個數”。經過“秩→線性相關、無關→線性方程組解的判定”的邏輯鏈條，就可以判定列向量組線性相關時，齊次線性方程組有非零解，且齊次線性方程組的解向量可以通過r個線性無關的解向量（基礎解系）線性表示。
（3）非齊次線性方程組與線性表出的聯系
非齊次線性方程組是否有解對應于向量是否可由列向量
三、特征值與特征向量
相對于前兩章來說，本章不是線性代數這門課的理論重點，但卻是一個考試重點。其原因是解決相關題目要用到線代中的大量內容——既有行列式、矩陣又有線性方程組和線性相關性，“牽一發而動全身”。
本章知識要點如下：
1、特征值和特征向量的定義及計算方法就是記牢一系列公式和性質。
2、相似矩陣及其性質，需要區分矩陣的相似、等價與合同：
3、矩陣可相似對角化的條件，包括兩個充要條件和兩個充分條件。充要條件一是n階矩陣有n個線性無關的特征值；二是任意r重特征根對應有r個線性無關的特征向量。
4、實對稱矩陣及其相似對角化，n階實對稱矩陣必可正交相似于以其特征值為對角元素的對角陣。
四、二次型
這部分所講的內容從根本上講是特征值和特征向量的一個延伸，因為化二次型為標準型的核心知識為“對于實對稱矩陣，必存在正交矩陣，使其可以相似對角化”，其過程就是上一章實對稱矩陣相似對角化的應用。
本章核心要點如下：
1、用正交變換化二次型為標準型。
2、正定二次型的判斷與證明。
線性代數知識點總結2
線性代數的學習切入點是線性方程組。換言之，可以把線性代數看作是在研究線性方程組這一對象的過程中建立起來的學科。
線性方程組
線性方程組的特點：方程是未知數的一次齊次式，方程組的數目s和未知數的個數n可以相同，也可以不同。
關于線性方程組的解，有三個問題值得討論：
1、方程組是否有解，即解的存在性問題；
2、方程組如何求解，有多少個；
3、方程組有不止一個解時，這些不同的解之間有無內在聯系，即解的結構問題。
高斯消元法
這最基礎和最直接的求解線性方程組的方法，其中涉及到三種對方程的同解變換：
1、把某個方程的k倍加到另外一個方程上去；
2、交換某兩個方程的位置；
3、用某個常數k乘以某個方程。我們把這三種變換統稱為線性方程組的初等變換。
任意的線性方程組都可以通過初等變換化為階梯形方程組。
由具體例子可看出，化為階梯形方程組后，就可以依次解出每個未知數的值，從而求得方程組的解。
對方程組的解起決定性作用的是未知數的系數及其相對位置，所以可以把方程組的所有系數及常數項按原來的位置提取出來，形成一張表，通過研究這張表，就可以判斷解的情況。我們把這樣一張由若干個數按某種方式構成的表稱為矩陣。
可以用矩陣的形式來表示一個線性方程組，這至少在書寫和表達上都更加簡潔。
系數矩陣和增廣矩陣
高斯消元法中對線性方程組的初等變換，就對應的是矩陣的初等行變換。階梯形方程組，對應的是階梯形矩陣。換言之，任意的線性方程組，都可以通過對其增廣矩陣做初等行變換化為階梯形矩陣，求得解。
階梯形矩陣的特點：左下方的元素全為零，每一行的第一個不為零的元素稱為該行的主元。
對不同的線性方程組的具體求解結果進行歸納總結（有唯一解、無解、有無窮多解），再經過嚴格證明，可得到關于線性方程組解的判別定理：首先是通過初等變換將方程組化為階梯形，若得到的階梯形方程組中出現d=0這一項，則方程組無解，若未出現d=0一項，則方程組有解；在方程組有解的情況下，若階梯形的非零行數目r等于未知量數目n，方程組有唯一解；若r<n，則方程組有無窮多解。
在利用初等變換得到階梯型后，還可進一步得到最簡形，使用最簡形，最簡形的特點是主元上方的元素也全為零，這對于求解未知量的值更加方便，但代價是之前需要經過更多的初等變換。在求解過程中，選擇階梯形還是最簡形，取決于個人習慣。
齊次方程組
常數項全為零的線性方程稱為齊次方程組，齊次方程組必有零解。
齊次方程組的方程組個數若小于未知量個數，則方程組一定有非零解。
利用高斯消元法和解的判別定理，以及能夠回答前述的基本問題：解的存在性問題和如何求解的問題，這是以線性方程組為出發點建立起來的最基本理論。
對于n個方程n個未知數的特殊情形，我們發現可以利用系數的某種組合來表示其解，這種按特定規則表示的系數組合稱為一個線性方程組（或矩陣）的行列式。行列式的特點：有n！項，每項的符號由角標排列的逆序數決定，是一個數。
通過對行列式進行研究，得到了行列式具有的一些性質（如交換某兩行其值反號、有兩行對應成比例其值為零、可按行展開等等），這些性質都有助于我們更方便的計算行列式。
用系數行列式可以判斷n個方程的n元線性方程組的解的情況，這就是克萊姆法則。
總而言之，可把行列式看作是為了研究方程數目與未知量數目相等的特殊情形時引出的一部分內容。
線性代數知識點總結3
線性代數占考研數學總分值的22%，約34分，以2個選擇題、1個填空題、2個解答題的形式出現。雖然線性代數的考點眾多，但要把這5個題目的分值完全收入囊中，則需要進行重點題型重點突破。
矩陣的秩
矩陣是解決線性方程組的解的有力工具，矩陣也是化簡二次型的方便工具。矩陣理論是線性代數的重點內容，熟悉掌握了矩陣的相關性質與內容，利用其來解決實際應用問題就變得簡單易行。正因為矩陣理論在整個線性代數中的重要作用，使它變為考試考查的重點。矩陣由那么多元素組成，每一個元素都在扮演不同的角色，其中的核心或主角是它的秩！
通過幾十年考研考試命題，命題老師對題目的形式在不斷地完善，這也要求大家深入理解概念，靈活處理理論之間的關系，能變通地解答題目。例如對矩陣秩的理解，對矩陣的秩與向量組的秩之間的關系的理解，對矩陣等價與向量組等價之間區別的理解，對矩陣的秩與方程組的解之間關系的掌握，對含參數的矩陣的處理以及反問題的解決能力等，都需要在對概念理解的基礎上，聯系地看問題，及時總結結論。
矩陣的特征值與特征向量
矩陣的特征值與特征向量在將矩陣對角化過程中起著決定作用，也是將二次型標準化、規范化的便捷方式，故特征值與特征向量也是考查重點。對于特征值與特征向量，須理清其相互關系，也須能根據一些矩陣的特殊性求得其特征值與特征向量（例如根據矩陣各行元素之和為3能夠判斷3是其一個特征值，元素均為1的列向量是其對應的特征向量），會處理含參數的情況。
線性方程組求解
對線性方程組的求解總是通過矩陣來處理，含參數的方程組是考查的重點，對方程組解的`結構及有解的條件須熟悉。例如2010年第20題（數學二為22題），已知三元非齊次線性方程組存在2個不同的解，求其中的參數并求方程組的通解。此題的關鍵是確定參數！而所有信息完全隱含在"AX=b存在2個不同的解"這句話中。由此可以得到齊次方程組有非0解，系數矩陣降秩，行列式為0，可求得矩陣中的參數；非齊次方程組有解故系數矩陣與增廣矩陣同秩可確定唯一參數及b中的參數。至于確定參數后再求解非齊次方程組就變得非常簡單了。
二次型標準化與正定判斷
二次型的標準化與矩陣對角化緊密相連，即與矩陣的特征值與特征向量緊密聯系。這里需要掌握一些處理含參數矩陣的方法以便運算中節省時間。正定二次型有很優秀的性質，但畢竟這是一類特殊矩陣，判斷一個矩陣是否屬于這個特殊類，可以使用正定矩陣的幾個充要條件，例如二次型矩陣的特征值是否全大于0，順序主子式是否均大于0等，但前者更常用一些。
歷年考研數學真題解析線性代數命題特點解析
考研數學是研究生招生入學考試中通過筆試的形式對考生數學功底的考查，從近幾年的考研數學歷年真題分析結果來看，可以得出一個結論：線性代數的難度在高數和概率統計之間，且大多數的同學認為線性代數試題難度不大，就是計算量稍微偏大點，線代代數的考查是對基本方法的考查，但是往往在做題過程中需要利用一些性質進行輔助解決。
線性代數的學科特點是知識點之間的綜合性比較強，這也是它本身的一個難點。這就需要同學們在復習過程中，注意對于知識點間的關聯性進行對比著學習，有助于鞏固知識點且不易混淆。
總體來說，線性代數主要包括六部分的內容，行列式、矩陣、向量、線性方程組、特征值與特征向量、二次型。
一、行列式部分，熟練掌握行列式的計算。
行列式實質上是一個數或含有字母的式子，如何把這個數算出來，一般情況下很少用行列式的定義進行求解，而往往采用行列式的性質將其化成上或下三角行列式進行計算，或是采用降階法（按行或按列展開定理），甚至有時兩種方法同時用。此外范德蒙行列式也是需要掌握的。行列式的考查方式分為低階的數字型矩陣和高階抽象行列式的計算、含參數的行列式的計算等等。同學們只要掌握了基本方法即可。
二、矩陣部分，重視矩陣運算，掌握矩陣秩的應用。
通過考研數學歷年真題分類統計與考點分布，矩陣部分的考點集中在逆矩陣、伴隨矩陣、矩陣的秩及矩陣方程的考查。此外，含隨矩陣的矩陣方程，矩陣與行列式的關系、逆矩陣的求法也是考生需要掌握的知識點。涉及秩的應用，包含秩與矩陣可逆的關系，矩陣及其伴隨矩陣秩之間的關系，矩陣的秩與向量組的秩之間的關系，矩陣等價與向量組等價的區別與聯系，系數矩陣的秩與方程組的解之間關系的分析。
三、向量部分，理解相關無關概念，靈活進行判定。
向量組的線性相關問題是向量部分的重中之重，也是考研線性代數每年必出的考點。要求考生掌握線性相關、線性表出、線性無關的定義。以及如何判斷向量組線性相關及線性無關的方法。 向量組的秩和極大無關組以及向量組等價這些重要的知識點要求同學們一定一定掌握到位。
這是線性代數前三個內容的命題特點，而行列式的矩陣是整個線性代數的基礎，對于行列式的計算及矩陣的運算與一些重要的性質與結論請考生朋友們一定要務必掌握，否則的話，對于后面四部分的學習會越學越難，希望同學們在復習過程中一定注意前面內容的復習，為后面的考研數學復習打好基礎。
前面我們已經分析過，考研數學線性代數這門學科整體的特點是知識點之間的綜合性比較強，有些概念較為抽象，這也是大部分考生認為考研數學線性代數不好學，根本找不到復習的頭緒，做題時也是一頭霧水，不知道怎么分析考慮。
這里，老師要求大家在學習過程中一定要注意知識間之間的關聯性，理解概率的實質。如：矩陣的秩與向量組的秩之間的關聯，矩陣等價與向量組等價的區別，矩陣等價、相似、合同三者之間的區別與聯系、矩陣相似對角化與實對稱矩陣正交變換對角化二者之間的區別與聯系等等。若是同學們對于上面的問題根本分不清楚，則說明大家對于基本概念、基本方法還沒有完全理解透徹。不過，大家也不要太焦急，希望同學們在后期的復習過程中對于基本概念、基本方法要多加理解和體會，學習一定要有心得。
下面我們分析一下后面三部分的內容，線性方程組、特征值與特征向量、二次型的命題特點。
線性方程組，會求兩類方程組的解。線性方程組是線性代數這么學科的核心和樞紐，很多問題的解決都離不開解方程組。因而線性方程組解的問題是每年必考的知識點。對于齊次線性方程組，我們需要掌握基礎解系的概念，以及如何求一個方程組的基礎解系。清楚明了基礎解系所含線性無關解向量的個數和系數矩陣的秩之間的關系。會判斷非齊次線性方程組的解的情況，掌握其求解的方法。此外，考生還需要掌握非齊次線性方程組與其對應的齊次線性方程組的解結構之間的關系。
特征值與特征向量，掌握矩陣對角化的方法。這一部分是理論性較強的，理解特征值與特征向量的定義及性質，矩陣相似的定義，矩陣對角化的定義。同學們還需掌握求矩陣特征值與特征向量的基本方法。會判斷一個矩陣是否可以對角化，若可以的話，需要把相應的可逆矩陣P求出來。還需要注意矩陣及其關聯矩陣（轉置、逆、伴隨、相似）的特征值與特征向量的關系。反問題也是喜歡考查的一類題型，已知矩陣的特征值與特征向量，反求矩陣A。
二次型，理解二次型標準化的過程，掌握實對稱矩陣的對角化。二次型幾乎是每年必考的一道大題，一般考查的是采用正交變換法將二次型標準化。掌握二次型的標準形與規范型之間的區別與聯系。會判斷二次型是否正定的一般方法。討論矩陣等價、相似、合同的關系。
雖然線性代數在考研數學考試試卷中僅有5題，占有34分的分值，但是這34分也不是很輕松就能拿下的。同學們在復習過程中需要對于基礎知識點理解透徹，做考研數學題過程中多分析總結。
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